f continue decroissante ==> unique point fixe

Soit f une fonction définie de R dans R et y est continue decroissante

Montrer que f admet un unique point fixe

Graphiquement c'est évident, mais qu'as-tu fais ?

on pose h(x)=f(x)-x

[a;b]C R===>f([a;b])=[f(b),f(a)]

a=<f(a)<=b et a<= f(b)<=b

h(a)>0 et h(b)<0

apres Tv f admet un poit fixe f(x)=x

on pose la fonction g(x)=f(x)-x g est continu est on a g'(x)=f'(x)-1 est f'(x)<0 donc f'(x)-1<1<0 donc g est strictement dècroissante donc strictement monotone donc g est une bijection de R vers f(R)=R donc l èquation g(x)=0 admet une seul solution donc f admet un seul point fixe

badr a écrit:

on pose h(x)=f(x)-x

[a;b]C R===>f([a;b])=[f(b),f(a)]

a=<f(a)<=b et a<= f(b)<=b

h(a)>0 et h(b)<0

apres Tv f admet un poit fixe f(x)=x

si f([a,b])=[f(b),f(a)]

donc qq soit c de [a;b] f(b)<=f(c)<=f(a) et non pas ce que tu viens de mentionner

saiif3301 a écrit:

on pose la fonction g(x)=f(x)-x g est continu est on a g'(x)=f'(x)-1 est f'(x)<0 donc f'(x)-1<1<0 donc g est strictement dècroissante donc strictement monotone donc g est une bijection de R vers f(R)=R donc l èquation g(x)=0 admet une seul solution donc f admet un seul point fixe

non

pk?

la fonction f x--> exp x est definie de R dans R pourtant f(R)=]0,+oo[

essayer autrement , oublier TVI

si f n'a pas de point fixe ==> f(x)>x qqs x ou f(x)<x qqs x
( il suffit de considérer g(x)=x-f(x) qui est croissante continue)

......

Mahdi a écrit:

la fonction f x--> exp x est definie de R dans R pourtant f(R)=]0,+oo[

estce que expx est decroissaante ?
donc il ne verifient pas l'hypothese

fest bijenction de R vers R

f(x)=x telque existe t'il un x £ R

fof(x)=f(x)

si f(x)>x ===>f(f(x))<f(x)==>f(x)<f(x) aabsurbe

si f(x)<x ===>f(f(x))>f(x) absurbe encore

donc il aa un c de R f(c)=c

badr a écrit:

Mahdi a écrit:

la fonction f x--> exp x est definie de R dans R pourtant f(R)=]0,+oo[

estce que expx est decroissaante ?
donc il ne verifient pas l'hypothese

je parle pas de ce cas moi en general si f est definie de R dans R ca veut pas dire que f(R)=R

badr a écrit:

fest bijenction de R vers R

f(x)=x telque existe t'il un x £ R

fof(x)=f(x)

si f(x)>x ===>f(f(x))<f(x)==>f(x)<f(x) aabsurbe

si f(x)<x ===>f(f(x))>f(x) absurbe encore

donc il aa un c de R f(c)=c

comment f(x)=x tu supposes deja que f admet un point fixe la donc c'est pas la peine de rediger la suite?

Mahdi a écrit:

badr a écrit:

Mahdi a écrit:

la fonction f x--> exp x est definie de R dans R pourtant f(R)=]0,+oo[

estce que expx est decroissaante ?
donc il ne verifient pas l'hypothese

je parle pas de ce cas moi en general si f est definie de R dans R ca veut pas dire que f(R)=R

oui d'accort

Mahdi a écrit:

badr a écrit:

fest bijenction de R vers R

f(x)=x telque existe t'il un x £ R

fof(x)=f(x)

si f(x)>x ===>f(f(x))<f(x)==>f(x)<f(x) aabsurbe

si f(x)<x ===>f(f(x))>f(x) absurbe encore

donc il aa un c de R f(c)=c

comment f(x)=x tu supposes deja que f admet un point fixe la donc c'est pas la peine de rediger la suite?

f'(x)<0==> f est decroissante et fof est decroissante
et f^-1 aaussi


donc on supose que f admet un poit fixe par(absurbe)

badr a écrit:

Mahdi a écrit:

badr a écrit:

fest bijenction de R vers R

f(x)=x telque existe t'il un x £ R

fof(x)=f(x)

si f(x)>x ===>f(f(x))<f(x)==>f(x)<f(x) aabsurbe

si f(x)<x ===>f(f(x))>f(x) absurbe encore

donc il aa un c de R f(c)=c

comment f(x)=x tu supposes deja que f admet un point fixe la donc c'est pas la peine de rediger la suite?

f'(x)<0==> f est decroissante et fof est decroissante
et f^-1 aaussi


donc on supose que f admet un poit fixe par(absurbe)

tu supposes que f admet un point fixe par absurde ? donc tu vas montrer qu'elle ne l'a pas non? mais nous on veut montrer son existence et non pas son inexistence

Mahdi a écrit:

badr a écrit:

Mahdi a écrit:

badr a écrit:

fest bijenction de R vers R

f(x)=x telque existe t'il un x £ R

fof(x)=f(x)

si f(x)>x ===>f(f(x))<f(x)==>f(x)<f(x) aabsurbe

si f(x)<x ===>f(f(x))>f(x) absurbe encore

donc il aa un c de R f(c)=c

comment f(x)=x tu supposes deja que f admet un point fixe la donc c'est pas la peine de rediger la suite?

f'(x)<0==> f est decroissante et fof est decroissante
et f^-1 aaussi


donc on supose que f admet un poit fixe par(absurbe)

tu supposes que f admet un point fixe par absurde ? donc tu vas montrer qu'elle ne l'a pas non? mais nous on veut montrer son existence et non pas son inexistence

oki j'essayais encore

on a g(x)=f(x)-x
Soit f une fonction strictement décroissante et continue sur R, et x continue et strictement croissante sur R.
g'(x)=f'(x)-1<1<0
Donc g(x) est strictement décroissante et continue sur R.

on a lim g(x) en +oo = -oo
lim g(x) en -oo = +oo

Donc g s'annule une seule et unique fois sur R, car elle est strictement décroissante.
Il existe c €R tel que g(c)=0

il existe c tel que f(c)-c=0 , alors f(c)=c

Et comme f strictement décroissante, il n'y a qu'une seule et unique solution.

badr a écrit:

on a g(x)=f(x)-x
Soit f une fonction strictement décroissante et continue sur R, et x continue et strictement croissante sur R.
g'(x)=f'(x)-1<1<0
Donc g(x) est strictement décroissante et continue sur R.

on a lim g(x) en +oo = -oo
lim g(x) en -oo = +oo

Donc g s'annule une seule et unique fois sur R, car elle est strictement décroissante.
Il existe c €R tel que g(c)=0

il existe c tel que f(c)-c=0 , alors f(c)=c

Et comme f strictement décroissante, il n'y a qu'une seule et unique solution.

Bonsoir Badr:
tu nas po le droit de deriver !
remarque que
lim f(qd x-->+00) est soit un reel soi -00
lim f(qd x-->-00) est soit +00 soit un reel.
.. ça va taider je crois.

selfrespect a écrit:

badr a écrit:

on a g(x)=f(x)-x
Soit f une fonction strictement décroissante et continue sur R, et x continue et strictement croissante sur R.
g'(x)=f'(x)-1<1<0
Donc g(x) est strictement décroissante et continue sur R.

on a lim g(x) en +oo = -oo
lim g(x) en -oo = +oo

Donc g s'annule une seule et unique fois sur R, car elle est strictement décroissante.
Il existe c €R tel que g(c)=0

il existe c tel que f(c)-c=0 , alors f(c)=c

Et comme f strictement décroissante, il n'y a qu'une seule et unique solution.

Bonsoir Badr:
tu nas po le droit de deriver !
remarque que
lim f(qd x-->+00) est soit un reel soi -00
lim f(qd x-->-00) est soit +00 soit un reel.
.. ça va taider je crois.

oki mr sefrespect!!

sans la derive g(x) est decroissante et continue sur R

a<b==>f(a)+b>f(b)+a==>g(a)>g(b)

et d'ou le resultat

selfrespect a écrit:

badr a écrit:

on a g(x)=f(x)-x
Soit f une fonction strictement décroissante et continue sur R, et x continue et strictement croissante sur R.
g'(x)=f'(x)-1<1<0
Donc g(x) est strictement décroissante et continue sur R.

on a lim g(x) en +oo = -oo
lim g(x) en -oo = +oo

Donc g s'annule une seule et unique fois sur R, car elle est strictement décroissante.
Il existe c €R tel que g(c)=0

il existe c tel que f(c)-c=0 , alors f(c)=c

Et comme f strictement décroissante, il n'y a qu'une seule et unique solution.

Bonsoir Badr:
tu nas po le droit de deriver !
remarque que
lim f(qd x-->+00) est soit un reel soi -00
lim f(qd x-->-00) est soit +00 soit un reel.
.. ça va taider je crois.

Oui c'est ca , faut exploiter cette indication

badr a écrit:

selfrespect a écrit:

badr a écrit:

on a g(x)=f(x)-x
Soit f une fonction strictement décroissante et continue sur R, et x continue et strictement croissante sur R.
g'(x)=f'(x)-1<1<0
Donc g(x) est strictement décroissante et continue sur R.

on a lim g(x) en +oo = -oo
lim g(x) en -oo = +oo

Donc g s'annule une seule et unique fois sur R, car elle est strictement décroissante.
Il existe c €R tel que g(c)=0

il existe c tel que f(c)-c=0 , alors f(c)=c

Et comme f strictement décroissante, il n'y a qu'une seule et unique solution.

Bonsoir Badr:
tu nas po le droit de deriver !
remarque que
lim f(qd x-->+00) est soit un reel soi -00
lim f(qd x-->-00) est soit +00 soit un reel.
.. ça va taider je crois.

oki mr sefrespect!!

sans la derive g(x) est decroissante et continue sur R

af(a)+b>f(b)+a==>g(a)>g(b)

et d'ou le resultat

desolé Badr , mais franchement je ne vois po a quel resultat tas abouti ?

selfrespect a écrit:

badr a écrit:

selfrespect a écrit:

badr a écrit:

on a g(x)=f(x)-x
Soit f une fonction strictement décroissante et continue sur R, et x continue et strictement croissante sur R.
g'(x)=f'(x)-1<1<0
Donc g(x) est strictement décroissante et continue sur R.

on a lim g(x) en +oo = -oo
lim g(x) en -oo = +oo

Donc g s'annule une seule et unique fois sur R, car elle est strictement décroissante.
Il existe c €R tel que g(c)=0

il existe c tel que f(c)-c=0 , alors f(c)=c

Et comme f strictement décroissante, il n'y a qu'une seule et unique solution.

Bonsoir Badr:
tu nas po le droit de deriver !
remarque que
lim f(qd x-->+00) est soit un reel soi -00
lim f(qd x-->-00) est soit +00 soit un reel.
.. ça va taider je crois.

oki mr sefrespect!!

sans la derive g(x) est decroissante et continue sur R

af(a)+b>f(b)+a==>g(a)>g(b)

et d'ou le resultat

desolé Badr , mais franchement je ne vois po a quel resultat tas abouti ?

g(a)>g(b)

g est strictemet decroissante et continue==>g est bijection donc g s'anuule au sule point
sur R telque existe un c£R g(c)=0

f(c)=c donc f admet un poit fixe

Si f(x)>x par passage a la limite en +oo on obient

lim f en +oo = +oo absurde car f decroit

Si f(x)<x de meme on passe a la limite en -oo donc lim f en -oo c'est -oo absurde encore

donc il existe c de R tel que f(c)=c

pour l'unicité on suppose qu'il existe 2points fixes c et c' distincs (on peut supposer c>c') donc f(c)<=f(c') ==> c<=c' absurde

donc c est unique


sauf erreur