fonction de classe C3

Bonsoir !

Je n'arrive pas à commencer cet exo, ca doit être le TAF (maybe) mais je n'y arrive pas!

On considère une fonction f de classe C3 sur un sément [a,b]
Monter qu'il existe c appartenant à l'intervalle ]a,b[ tel que:

f(b)=f(a)+(b-a)[f'(a)+f'(b)]/2 - [(b-a)^3] *f^(3)(c)/12

ou f^(3) est la dérivée troisième de f.

Indication: considérer la fonction g définie par:
g(x)= f(t)-f(a)-(t-a)*[f'(a)+f'(t)]/2 + [(t-a)^3]*K/12

ou K est une constante à bien choisir.


Merci infiniment de votre aide!

salut,

ben TAF comme tu dis !
soit A tq :f(b)=f(a)+(b-a)[f'(a)+f'(b)]/2 - [(b-a)^3] *A
soit G la fct defini sur [a,b] par:
G(t)=f(t)-f(a)-(t-a)[f'(t)+f'(b)]/2 + [(t-a)^3] *A/12
G(a)=G(b)=0
Taf ==> il existe c entre a,b tq :G'(c)=0
alors G'(t)=f'(t)-[f'(t)+f'(b)]/2-(t-a)f"(t)/2+(t-a)²A/4
G'(c)=G'(a)=0
==> i existe d compris entre c et a tq G"(d)=0
G"(t)=f"(t)/2-f"(t)/2-(t-a)f"'(t)/2+(t-a)A/2
=-(t-a)f"'(t)/2+(t-a)A/2
G"(d)=0 ==>A=f"'(d).
il suffit de remplacer A=f"'(d) dans l'expression en gras!
cqfd
a+