Developpement Limité

Bonjour,
Pouvez vous s'il vous plait m'aider a resoudre cet exercice

Determiner les asymptotes des fonctions suivantes et la position des courbes par rapport a ces asymptotes
a) g(x)=x exp{1/(1+x)}
b) h(x)=x exp{sin(1/x)} -(1/x)

Merci d'avance

chercheuse a écrit:

Bonjour,
Pouvez vous s'il vous plait m'aider a resoudre cet exercice

Determiner les asymptotes des fonctions suivantes et la position des courbes par rapport a ces asymptotes
a) g(x)=x exp{1/(1+x)}
b) h(x)=x exp{sin(1/x)} -(1/x)

Merci d'avance

slt:
a)g(x)=xexp((1/x)*1/(1+1/x))=x*exp([1-1/x+o(1/x)]*1/x)
=x*exp(1/x-1/x²+o(1/x²)=x(1+(1/x-1/x²)+1/2x²+o(1/x²))=x(1+1/x-1/2x²+o(1/x²)=x+1-1/2x+o(1/x).
b)h(x)=xexp(1/x-1/6x^3+o(1/x^3))-1/x=x*(1+(1/x-1/6x^3)+1/(2x²)+1/6x^3+o(1/x^3))=x(1+1/x+1/2x²+o(1/x^3))=x+1+1/2x+o(1/x²).
s.e

Merci beaucoup selfrespect.

chercheuse a écrit:

.......
Determiner les asymptotes des fonctions suivantes et la position des courbes par rapport a ces asymptotes
a) g(x)=x exp{1/(1+x)}
b) h(x)=x exp{sin(1/x)} -(1/x)
......

BJR chercheuse et Bonne Année 2008 !!
Tes deux exemples sont des cas ou il faut FAIRE DES DEVELOPPEMENTS dits ASYMPTOTIQUES. Je m'explique , tu poses X=1/x et lorsque x---->oo
alors X----->0 , tu transformes g(x) et h(x) en remplaçant x par 1/X
et tu seras amenée à faire un développement limité au voisinage de 0 par rapport à la nouvelle variable X .
Le reste est du calcul pur et méchant que l'on peut faire en 1 clin d'oeil grace à MAPLE par exemple ou tout autre logiciel de Calcul Symbolique !!!
Selfrespect t'a bien répondu et l'avantage de cette méthode est que tu peux SIMULTANEMENT :
1) Récupérer l'équation de l'asymptote oblique éventuelle ,
2) Discuter la position de la courbe par rapport à cette asymptote le cas échéant .
A+ LHASSANE