Une droite dans le plan

la figure:


l'exo est vraiement classique , mais il ya bcp de calcul voilà:

I) determinons les cordonnés de I dans le repère (A,vec(AC),vec(AB)):
ona : M£[BC] , donc il existe un a de R+, tel que vec(BM)=a*vec(BC)
==> vec(BA)+vec(AM)=a*vec(BA)+a*vec(AC)
==> vec(AM)= a*vec(AC) +(1-a)*vec(AB)
<=> M(a,1-a)
- ona : I est le milieu de [AM] , et M(a,1-a), A(0,0)
<=> I(a/2 , (1-a)/2) CQFD

II) determinons les cordonnés de J dans le repère (A,vec(AC),vec(AB)):
i) equation de la droite (CI):
ona : (CI):y=ax+b et C(1,0) et I( a/2 , (1-a)/2 )
alors a= (1-a)/2 / (a-2)/2 = (1-a)/(a-2)
en subsituant avec les cordonnés de C : b= (a-1)/(a-2)
<=> (CI) : y= x* (1-a)/(a-2) + (a-1)/(a-2) CQFD
ii) en déduire les cordonnés de D:
ona : D£(AB) , donc : D(0,k) et puisque D£(CI):
k= 0*(1-a)/(a-2) + (a-1)/(a-2) <=> k= (a-1)/(a-2)
<=> D ( 0, (a-1)/(a-2)) CQFD
iii) l'équation de delta : la droite passante par D et parallèle à (AM):
soit delta : y= px+q
- on va d'abord determiner l'équation de (AM) :
puisque les cordonnés de A et M sont connus directement : (AM): y= (1-a)/a *x
or (delta) // (AM) ==> p= (1-a)/a , par suite : delta : y= (1-a)/a *x + (a-1)/(2-a) CQFD
iv) l'équation de (BC) : directement ona : (BC): y=-x+1 car les cordonnés de B et C sont connus..
v) en déduire les cordonnés de N:
je te laisse le soin de résoudre le systeme :
{ y= (1-a)/a *x + (1-a)/(2-a)}
{ y=-x+1 }
soit alors (u,v) la solution du syteme <=> N(u,v)
vi) l'équation de (AN) et (DM):
puisque les cordonnés de A,N,D,M sont connus , alors il reste que faire des calculs pour trouver les équations de (AN) et (DM) aussi ..
vii) en déduire les cordonnés de J:
tu fais la meme chose que v) , mais cette fois ci avec les équation de (AN) et (DM)..
III) en déduire le résultat:
puisque B(0,1) et ona déja trouvé les cordonnés de I et J , il est facile alors de trouver les cordonnés de vec(BJ), et vec(JI) , et en calculant leur determinant , le résultat se découle facilement