Arithmetique

démontrer que : Racin(n/n+1) n'appartient pas à Q .
By Nea® !

c'est very classique

kalm a écrit:

c'est very classique

et déjà posté à PLUSIEURS REPRISES sur le Forum !!!
Il suffit de faire une recherche ...
A+ LHASSANE

c'est exo qui ce trouve o livre de l'année derniére

pour n=0 si , sinon ;
posons rac(n/(n+1))=p/q avec p£Z et q£IN* et pgcd(p,q)=1
=>n/(n+1)=p²/q²
=>nq²=np²+p²
=>n(q²-p²)=p²
=>p²/q²-p²
=>p²/q² et comme pgcd(p²,q²)=1
=>p²/1
=>p²=1

premier cas p=-1
q>0 => p/q<0 => n/(n+1)<0 IMPOSSIBLE
deuxime cas p=1
alors n(1-q²)=1
=> 1-q²=1 car 1-q²£Z et n£IN
=> q²=0
=> q=0 IMPOSSIBLE


donc rac(n/(n+1)) n appartient pas à Q
______________________________________________________
comme on vient de finir l'ln et tout , je te donne un exo assez semblable ;
prouver que (log_2)(10) n'appartient pas à Q

supposant que log_2(10)=p/q <=>10^q=2^p
<=>5^q=2^(p-q) =>p=q=0 ce qu'est impossible donc ...

o0aminbe0o a écrit:

pour n=0 si , sinon ;
posons rac(n/(n+1))=p/q avec p£N et q£IN* et pgcd(p,q)=1 ( A noter que q>p obligatoirement )
=>n/(n+1)=p²/q²
=>nq²=np²+p²
=>n(q²-p²)=p²
=>p²/q²-p²
=>p²/q² et comme pgcd(p²,q²)=1
=>p²/1
=>p²=1

premier cas p=-1
q>0 => p/q<0 => n/(n+1)<0 IMPOSSIBLE
deuxime cas p=1
alors n(1-q²)=1
=> 1-q²=1 car 1-q²£Z et n£IN
=> q²=0
=> q=0 IMPOSSIBLE


donc rac(n/(n+1)) n appartient pas à Q...

BJR oOaminebeOo !!!
Le passage en ROUGE est plutôt douteux !!!!
Maintenant , on peut remarquer que la fraction n/(n+1) est TOUJOURS IRREDUCTIBLE car n et (n+1) sont PREMIERS ENTRE EUX !!!
Donc si n/(n+1)=p^2/q^2 avec p et q premiers entre eux ( ce qui entrainera .....que la fraction p^2/q^2 est IRREDUCTIBLE ) alors nécessairement : n=p^2 et n+1=q^2 d'ou 1=q^2 - p^2
soit :
(q-p).(q+p)=1 offrant la seule possibilité q-p=q+p=1 donc q=1 et p=0
CE QUI EST ABSURDE !!!
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

o0aminbe0o a écrit:

pour n=0 si , sinon ;
posons rac(n/(n+1))=p/q avec p£N et q£IN* et pgcd(p,q)=1 ( A noter que q>p obligatoirement )
=>n/(n+1)=p²/q²
=>nq²=np²+p²
=>n(q²-p²)=p²
=>p²/q²-p²
=>p²/q² et comme pgcd(p²,q²)=1
=>p²/1
=>p²=1

premier cas p=-1
q>0 => p/q<0 => n/(n+1)<0 IMPOSSIBLE
deuxime cas p=1
alors n(1-q²)=1
=> 1-q²=1 car 1-q²£Z et n£IN
=> q²=0
=> q=0 IMPOSSIBLE


donc rac(n/(n+1)) n appartient pas à Q...

BJR oOaminebeOo !!!
Le passage en ROUGE est plutôt douteux !!!!
Maintenant , on peut remarquer que la fraction n/(n+1) est TOUJOURS IRREDUCTIBLE car n et (n+1) sont PREMIERS ENTRE EUX !!!
Donc si n/(n+1)=p^2/q^2 avec p et q premiers entre eux ( ce qui entrainera .....que la fraction p^2/q^2 est IRREDUCTIBLE ) alors nécessairement : n=p^2 et n+1=q^2 d'ou 1=q^2 - p^2
soit :
(q-p).(q+p)=1 offrant la seule possibilité q-p=q+p=1 donc q=1 et p=0
CE QUI EST ABSURDE !!!
A+ LHASSANE

on a p²/q²-p² et p²/p² => p²/q²+p²-p² => p²/q²

Tu as toute mon estime oOaminebeOo !!
Mais lis le post de Neutrino ci-dessous !!!!!
A+ LHASSANE

o0aminbe0o a écrit:

pour n=0 si , sinon ;
posons rac(n/(n+1))=p/q avec p£Z et q£IN* et pgcd(p,q)=1
=>n/(n+1)=p²/q²
=>nq²=np²+p²
=>n(q²-p²)=p²
=>p²/q²-p²

cé plutot le contraire

Eh Bien !!
Alors là je n'ai pas fait ATTENTION à celà !!
Merci Neutrino !!
La démo d' oOaminebeOo est entièrement à revoir !!!
et celà focalise de nouveau sur ma remarque :
<<Maintenant , on peut remarquer que la fraction n/(n+1) est TOUJOURS IRREDUCTIBLE car n et (n+1) sont PREMIERS ENTRE EUX !!!
Donc si n/(n+1)=p^2/q^2 avec p et q premiers entre eux ( ce qui entrainera .....que la fraction p^2/q^2 est IRREDUCTIBLE ) alors nécessairement : n=p^2 et n+1=q^2 d'ou 1=q^2 - p^2
soit :
(q-p).(q+p)=1 offrant la seule possibilité q-p=q+p=1 donc q=1 et p=0
CE QUI EST ABSURDE !!! à moins que n=0 >>
A+ LHASSANE

désolé de ma précipitation...

Non tu n'as pas à etre désolé oOaminebeOo !!!
Celà peut arriver à tout le monde , y compris moi-même ; la plus grande des sagesses c'est de reconnaitre ses erreurs , on n'en sort que grandi !!!
Et sur ce coup là , tu es un SAGE !!!!
A+ LHASSANE

merci !