exo 'suites' urgent

soit a et b deux constantes reelles.ON considere une suite [(Un) n appartient a N] verifiant pour tout entier naturel n:
U(n+2)=aU(n+1)+bU(n)
on suppose que l'equation d'inconnue x; x²=ax+b admet au moins une solution &.
Demontrez que la suite [(Un) n appartient a N] definie par Un=U(n+1)_&Un est geometrique de raison a_&.
svp c urgent

svp c urgent

momomaths a écrit:

soit a et b deux constantes reelles.ON considere une suite [(Un) n appartient a N] verifiant pour tout entier naturel n:
U(n+2)=U(n+1)+U(n)
on suppose que l'equation d'inconnue x; x²=ax+b admet au moins une solution &.
Demontrez que la suite [(Un) n appartient a N] definie par Un=U(n+1)_&Un est geometrique de raison a_&.
svp c urgent

Momomaths , BSR !!
Il y a dans tes notations des choses INCOHERENTES.
<< Un=U(n+1)_&Un >>
Réécris ton énoncé d'une manière +claire .
A+ LHASSANE
PS : autrement ta suite donnée au début est doublement récurrente et s'appelle suite de FIBONACCI !!!!

oui c'est ca comme titre il y a ecrit la suite de fibonacci est ce que je pourrai avir d'avantage d'informations

Bien sûr momomaths !!
Mais donne-nous l'énoncé CORRECT !!!
Si c'est U(n+2)=U(n+1)+U(n) alors je ne vois pas à quoi servent les réels a et b !!!!
S'il y a erreur dans U(n+2)=U(n+1)+U(n) alors il se peut que ce soit :
U(n+2)=a.U(n+1) + b.U(n)
A voir ????
A+ LHASSANE

oui desole vous avez raison c'est U(n+2)=a.U(n+1) + b.U(n)

Voici un lien sur les suites récurrentes doubles :
http://c.caignaert.free.fr/chapitre3/node2.html#SECTION00021000000000000000
Regarde ce qu'il y a dedans et puis on pourra en reparler + tard le cas échéant !!!
A+ LHASSANE

d'accord merci pour votre aide

j'ai jete un coup d'oeil mais j ai pas tres bien compris

est ce que je pourrai avoir l explication de l exercice et merci

Ma foi , je veux bien !!
Ta suite {Un}n vérifie cette double récurrece :
U(n+2)=a.U(n+1) + b.U(n) (*)
On forme alors l'équation caractéristique , ICI c'est précisément :
X^2-a.X-b=0 dont le DELTA vaut a^2 + 4b
Deux cas peuvent se produire :
1) Si DELTA est <0 pas de racines et ce cas n'est pas envisagé par ton Exo de toutes les manières !!
2) Si DELTA =0 on a une racine double notée r=a/2
et alors les solutions de (*) sont de la forme
Un=(s+nt).r^n avec s et t constantes quelconques ;
3) Si DELTA > 0 alors on a deux racines r1 et r2 et alors les solutions de (*) sont de la forme :
Un=s.(r1)^n + t.(r2)^n avec toujours s et t constantes qqques.
Ce que tu vas faire maintenant momomaths c'est la chose suivante :
Dans le cas2) : tu dois montrer que la suite {Vn}n définie par
Vn=U(n+1) - rUn est géométrique de raison (a-r) c'est à dire
V(n+1)=(a-r).Vn
Dans le cas 3) tu dois faire pareil en choisissant cette fois, r égal à r1 ou r2 .
Bonne Chance
A+ LHASSANE

merci bien monsieur BOURBAKI

bonjour tout le monde et surtout monsieur bourbaki ;est ce que je pourrai avoir la methode pour le deuxieme cas (c est a dire delta=0)

BJR momomaths !!!!
Dans ce cas qui t'interesse ; on a une racine double r=a/2 de plus r^2-ar-b=0 qui s'écrira : -b=r.(a-r)
Les solutions au Pb sont les suites {Un}n définies par :
Un=(s+nt).r^n avec s et t réels arbitraires .
Tu vas calculer V(n+1).
V(n+1)=U(n+2)-r.U(n+1)
Or U(n+2)=a.U(n+1)+b.Un
Donc V(n+1)=(a-r).U(n+1)+b.Un
=(a-r).{(s+nt+t).r^(n+1)}+b.(s+nt).r^n
=r^n.{r.(a-r).(s+nt+t) + b.(s+nt)}
=r^n.{-b.(s+nt+t)+b.(s+nt)}
=(-bt).r^n
Tu vas calculer Vn.
Vn=U(n+1)-r.Un=(s+nt+t).r^(n+1) - r.(s+nt).r^n
=r^(n+1).{s+nt+t-s-nt}=t.r^(n+1)

Or -b=r.(a-r)
Donc:
V(n+1)=-bt.r^n=r.(a-r).t.r^n=(a-r).t.r^(n+1)
=(a-r).Vn
Ce Qu' il Fallait Démontrer !!!
A+ LHASSANE

la suite de FIBONACCI est U(n+2)=U(n+1)+U(n)
et pour U(n+2)=aU(n+1)+bU(n) c 'est quoi?

huntersoul a écrit:

la suite de FIBONACCI est U(n+2)=U(n+1)+U(n)
et pour U(n+2)=aU(n+1)+bU(n) c 'est quoi?

BJR huntersoul !!
Ce genre de suite s'appelle suite récurrente linéaire double et se gère selon une technique propre ( On écrit l'équation caractéristique et on examine tous les cas de figure selon le DISCRIMINANT de cette équation ) . Voici un Lien :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_r%C3%A9currente_lin%C3%A9aire#Suite_r.C3.A9currente_lin.C3.A9aire_d.E2.80.99ordre_2

A+ LHASSANE

je pense que c'est juste une suite normale

ah d'accord merci

merci Mr LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

huntersoul a écrit:

la suite de FIBONACCI est U(n+2)=U(n+1)+U(n)
et pour U(n+2)=aU(n+1)+bU(n) c 'est quoi?

BJR huntersoul !!
Ce genre de suite s'appelle suite récurrente linéaire double et se gère selon une technique propre ( On écrit l'équation caractéristique et on examine tous les cas de figure selon le DISCRIMINANT de cette équation ) . Voici un Lien :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_r%C3%A9currente_lin%C3%A9aire#Suite_r.C3.A9currente_lin.C3.A9aire_d.E2.80.99ordre_2

A+ LHASSANE

Appellé aussi recurence forte!!!

BJR raito321 !!!
Tu confonds deux choses :
1) Suite récurrente linéaire double dont IL EST QUESTION dans ce Topic et
2) La méthode de démonstration : appelée méthode de récurrence forte .

A+ LHASSANE
et Pardon pour cette rectification , je ne veux que ton Bien !

Merci LHASSANE

En fait je traville pas trop ce genre de suite d'où mon erreur