Petit problème...

L'objectif de ce problème est d'étudier la limite de la suite de terme general
Un=n^k/a^n ( avec k entier naturel et a un réel, a>1), en comparant (Un) à une suite géométrique de raison b, avec 1<b<1/a


1) etude d'un exemple.

dans cette question, Un=n^4/1.1^n

a) on pose, pour n>=1, Wn=1.045^n/n^4

Vérifier que: W^n+1/Wn=1.045/(1+1/n)^4

b) etudier la limite de la suite n->(1+1/n)^4.
En deduire qu'il existe un rang n0 à partir duquel (1+1/n)^4<1.045

c) Etablir ensuite que la suite (Wn) est croissante à partir du rang n0.

d) on pose alpha=Wn0 . Montrer que, si n>=n0 alors 1.045^4>=alpha(n)^4
En deduire que, pour n>=n0 , Un<=(1/alpha)0.95^n
Quelle est la limite de Un?
BON COURAGE!

On a : u(n+1)/u(n)= (n+1)^ka^n /a^(n+1)n^k=(1+1/n)^k/a de limite 1/a<1

Donc ( régle de D'Alembert) la série de t.g (u_n) converge donc lim u(n)=0