limites colinéaires

Soit E un e.v.n de dimension finie. (u_n) et (v_n) deux suites de E telles que : qqs n u_n est colinéaire à v_n , u_n --> u et v_n --> v.
Montrer que u et v sont colinéaires.

E étant un e.v.n de dimension finie alors ,
soit B=(e1,e2,..,ep) une base de E oû p=dimE
Un-->U , U=u1*e1+..+up*ep
Vn-->V , V=v1*e1+..+vp*ep
pour tout n entir naturel :
Un=u1n*e1+u2n*e2+..+upn*ep
Vn=v1n*e1+v2n*e2+..+vpn*ep .
Un-->U signifie pour i=1..p uin-->ui
Vn-->V signifie pour i=1..p vin-->vi
pour tout entier naturel n :
Un est cilnéaire à Vn signifie Vn=An.Un An dans K= R ou C
signifie pour i=1...p vin=An.uin
en passant à la limite quand n tend vers +infini : on obtient
vi=lim(An. uin)=lim(An) . ui=A.ui avec A=lim(An)

on conclut que V=A.U
d'ou V et U sont colinéaires

b repse

methenniachref a écrit:

E étant un e.v.n de dimension finie alors ,
soit B=(e1,e2,..,ep) une base de E oû p=dimE
Un-->U , U=u1*e1+..+up*ep
Vn-->V , V=v1*e1+..+vp*ep
pour tout n entir naturel :
Un=u1n*e1+u2n*e2+..+upn*ep
Vn=v1n*e1+v2n*e2+..+vpn*ep .
Un-->U signifie pour i=1..p uin-->ui
Vn-->V signifie pour i=1..p vin-->vi
pour tout entier naturel n :
Un est cilnéaire à Vn signifie Vn=An.Un An dans K= R ou C
signifie pour i=1...p vin=An.uin
en passant à la limite quand n tend vers +infini : on obtient
vi=lim(An. uin)=lim(An) . ui=A.ui avec A=lim(An)

on conclut que V=A.U
d'ou V et U sont colinéaires

BJR methenniachref & Bienvenue sur le Forum !!
J'émets quelques réserves sur cette écriture :
<< A=lim(An) >>
En effet RIEN NE PROUVE que la suite {An}n CONVERGE !!
Pour tout le reste , c'est un démarrage standart et classique que tout un chacun sait faire .
A+ LHASSANE

salut "oeil_de_lynx"
le faite que le produit An.uin converge vers vi
et que uin converge vers ui
montre que An converge

.est ce que g raison ?

methenniachref a écrit:

salut "oeil_de_lynx"
le faite que le produit An.uin converge vers vi
et que uin converge vers ui
montre que An converge

.est ce que g raison ?

BSR !!
et si par hasard ui=0 et que vi=0 aussi alors QUOI DIRE ????
Il y a des situations pathologiques à traiter à part telles U=0 ou ( et ) V=0
puis t'attaquer au cas général U,V <>0
Enfin , je pense !!

Tu as absolument raison

methenniachref a écrit:

Tu as absolument raison

Merci !!
Tu vois que ce n'est pas si évident que celà mais tu as bien démarré la soluce en installant ce qu'il faut !!!
A+ LHASSANE