Marathon développements limités et limites.

Bonsoir;

pour le plaisir des mathématiques, je lance ce Marathon qui n'a pour règles qu'une unique et seule obligation: celui qui donne le premier une solution juste, a le privilège de poster l'exercice suivant dans l'heure qui suit, après cela c'est le premier exercice posté par tout un chacun qui sera le sujet du Marathon: un exercice posté qui n'est pas résolu dans les 24 heures qui suivent son édition, son éditeur en donnera ou des indications ou la solution pure et simple.

Bismillah Tawakkalna alallah.

Calculer le développement limité à l'ordre 3 en 0 de : f(x) = (1 + 2 arctan(x))(2e^x − sin(x)) .

f(x)=2x+x^2-2x^3/3+o(x^3)

Non pardon j'ai mal copier l'énoncer

On a f(0) = 2, et votre réponse donne f(0) = 0, donc il faut revoir votre solution.

Pardon, j'avais pas vu votre réponse.

f(x)=2+5x+2x^2-4/3*x^3+o(x^3)

Vous êtes sur le bon chemin, mais c'est pas encore ça .

Je m'excuse , f(x)=2+5x+3x^2+7x^3/6+o(x^3)

Pour ce premier exercice, j'aimerai bien qu'on travaille ensemble:

Si vous voulez bien donnons d'abord le développement limité à l'ordre 3 en 0 de arctan(x) , e^x et sin(x), puis on fera les opérations et les troncatures nécessaires .

Bravo, c'est ça. A vous l'honneur de poster le prochain exercice.

Je m'excuse d'abord ca fait longtemps que j'ai pas fait des DLs donc je me souviens que peu des formules mais je vais essayer de les récuperer tt de même:
Determiner le DL a l'ordre 4 de 1/cos(sin(x)) en 0

Ne serait-ce pas: 1 + 1/2 x^2 + 1/24 x^4 + o(x^4) ?

Bon travail. A vous de poster

Calculer le développement limité à l'ordre 4 en 0 de : f(x) = (1 + arctan(x))/cos(x).

Je demande la permission d'aller dormir, car j'ai eu une rude journée.

A demain, Inchaallah.

Voilà que pensez-vs f(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+5x^4/24+o(x^4) ?

Oui c'est la réponse juste. A vous de poster un exercice.

Determiner le DL a l'ordre n de la suite de Fibonacci

Bonjour;

si vous voulez parler de la fonction génératrice de la série entière de terme général F_n x^n avec F_n le terme d'indice n de la suite de Fibonacci, alors cette fonction est : F(x) = somme (allant de n=0 à + infini) F_n x^n = x /(1 - x - x^2) .

La démonstration de ce résultat est tout un cours.

Je suppose que la réponse proposée est juste. Je poste donc cet exercice:

Calculer le développement limité à l'ordre 2 en 0 de : f(x) = (1 + 2 x)^(1/x) ,

ou calculer la limite en 0 de la fonction f définie par : f(x) = ( exp(racine(4+x)) + exp(racine(4-x)) - 2 e^2 ) / tan^2 (x) .

e^2/32 ?

Bravo.

Je m'excuse pour ce grand temps de latence.

A vous de poster.

Déterminer le DL a l ordre 2 de rac(1+rac(1+rac(1+x))) en 0 et si possible j'aimerai bien qu'on change de sujet comme en polynome ou en arithmetique si possible

La réponse est :

rac(1+rac(2)) (1+ a x - b x^2) + o(x^2) avec a = rac(2)(rac(2) - 1)/16 et b = (13 - 7 rac(2))/256,

ou bien u + v x + w x^2 + o(x^2) avec u = rac(1+rac(2)) ,
v = (2 rac(1+rac(2)) - rac(2) rac(1+rac(2)))/16,
et w = - (13 rac(1+rac(2)) - 7 rac(2) rac(1+rac(2)))/256 .

Pour votre proposition, je suis d'accord: ce qui importe c'est d'inciter les visiteurs du forum à participer.

Vous pouvez initier un marathon sur le sujet que vous allez proposer et donner la réglementation qui va régir les interventions des visiteurs.

Pour ma part je laisse le relai à tout un chacun qui veut - tôt ou tard - continuer ce marathon.

Je donne ici un exercice pour ceux qui viennent de débuter le cours sur les développements limités:

Calculer le développement limité à l'ordre 3 en 0 de : f(x) = sin(x)/x .

sin(x) = x - (x^3)/6 + o(x^3) = x - (x^3)/6 + o(x^4) , donc sin(x)/x = 1 - (x^2)/6 + o(x^3) .

Pour exaucer le vœu de M. Litorus , voici un exercice qui sort du cadre de ce Marathon:

pour n appartenant à IN* , montrer que n^n =< (n!)^2 .