Question n°4: Développements limités

Pour tout l'application f_n est définie et de classe C infini sur ]-1,3[.
D'après le théorème de Taylor-Young elle admet un DL_2(0).

Comme f_n(0)=1 pour tout n
alors f_n(x)=1+a_n x+b_n x²+o(x²)
Par unicité du DL et la relation de récurrence entre les f_n permettent de trouver des relations des récurrences entre a_n et a_(n+1) , b_n et b_(n+1). Il est facile ensuite de calculer a_n et b_n en fonction de n.

On pose pour tout x€]-1, 3[ ,

et pour tout n€IN,

où t -->V(t) est la fonction racine carrée
1) Prouver que les fonctions f_n sont bien définies.
2) Montrer que, pour tout entier naturel n, f_n admet un DL_2(0) que l’on explicitera.