non bornée => tend vers l'infini

soit f une application de N vers N et U_n une suite definie par la donnée de U_0 appartenant a N et par la relation U_(n+1)=f(U_n).
montrer que si U_n n'est pas bornée alors elle tend vers l'infini

En général une suite non bornée peut ne pas tendre vers l'infini même dans IN.
Exemple: U_n=0 si n pair U_n=n sinon.
Mais, ici la suite est recurrente!

salut monsieur abdelbaki.attioui .la suite que vs avez donné monsieur n'est pas recurrente.
parceque si tu considere que Un est recurrente alors il existe une application verifiant f(U_n)=U_(n+1) alors soit f(0)=a appartenant a N alors dans ce cas U1=f(U0)=a=1 et U3=f(U2)=a=3 ce qui est absurde

aannoouuaarr a écrit:

salut monsieur abdelbaki.attioui .la suite que vs avez donné monsieur n'est pas recurrente.
parceque si tu considere que Un est recurrente alors il existe une application verifiant f(U_n)=U_(n+1) alors soit f(0)=a appartenant a N alors dans ce cas U1=f(U0)=a=1 et U3=f(U2)=a=3 ce qui est absurde

Lorsque j'ai écrit "Mais, ici la suite est récurrente" j'en parle de ta question et non pas de l'exemple.

montrer que si de plus f est injectif alors:
U_n bornée ==> U_n est périodique

Soit U={U_n/n€IN}, U est une partie de IN majorée
==> U est finie
==> U={U_n1,...,U_np} avec U_n1<...<U_np
Pour tout i de 1 à p il existe j de 1 à p telque
u_(ni+1)=U_nj=f(Uni) ==> ni+1=nj
Donc, quitte à effectuer une permutation de {1,..,p}
on peut suppser que le ni sont consécutifs.
==> U_n périodique