Famille libre de polynomes

soit P_k le polynome

P_k=X^k(1-X)^n-k et k dans [0,n]

Montrer que la famille (P_k)kdans N est libre

soit a_0 ,a_1 ,.. ,a_n ds C tq Sum(a_k[(x^k)(1-x)^n-k]k=0..n)=0

si il existais un i ds 0 et n tq a_i#0 on aurait X^i*(1-X)^n-i=1/a_i*Sum(a_k[(x^k)(1-x)^n-k],k=0..n;k#i)=0
l'orde de multplicité de 1 ds X^i*(1-X)^n-i est n-i . Or ds 1/a_i*Sum(a_k[(x^k)(1-x)^n-k],k=0..n;k#i) l'ordre de multpiplicté de 1 est different de n-i ; Absurde ; d'ou le resultat

Ta réponse saad n'est pas très claire...
M.elouafi n'a jamais toléré ce genre de démonstration.
Précise pourquoi ds 1/a_i*Sum(a_k[(x^k)(1-x)^n-k],k=0..n;k#i) l'ordre de multpiplicté de 1 est different de n-i !!!!

une famille de polynôme échelonnée en degrés est libre. La démonstration de ce théorème peut s'adapter pour montrer qu'une famille de polynômes échelonnée en valuation (et c'est la cas ici) est libre

Bonne remarque!!