famille libre

salam ;
je vous propose un exo plutôt simple

on pose e_n(x)=exp(nx) pour tout reel x
montrer que la famille (e_1,e_2,...,e_n) est libre

àplus!

c koi une famille libre pliz??

une famille libre c une notion que vous allé étudié lannée prochaine inshaalah.
on dit que B=(x,y,z) est libre si
pr tt a , b et c de IR
a.x+b.y+c.y=0 implique a=b=c=0

ça fait partir de "stuctures algebriques" programme de TSM

slt
considérons (a_1,a_2,a_3,........a_n)£ R^n
on démontre que a_1.e_1+a_2.e_2+.......+a_n.e_n=0 ==< (a_1,a_2,a_3,........a_n)=(0,0,0.......0,0)
ou bien a_1+a_2.e_1+.......+a_n.e_n-1=0 ==< (a_1,a_2,a_3,........a_n)=(0,0,0.......0,0)
posons la fct f tel que f(x)=a_1+a_2.e_1+.......+a_n.e_n-1(x)
alors lim (-inf)f(x)=0 donc a_1=0
et lim (+inf)f(x)=0 donc a_2=a_3=........=a_n=0(par absurde)
alors a_1=a_2=.......=a_n=0[/b]

callo a écrit:

une famille libre c une notion que vous allé étudié lannée prochaine inshaalah.
on dit que B=(x,y,z) est libre si
pr tt a , b et c de IR
a.x+b.y+c.y=0 implique a=b=c=0

mais pour un etudiant comme memaths fau quil connais l'espace victoriel reel,et pour connetre cela fau connetre tou les trucs
tu sais

oui biensur je lui é juste donné a peu pré la notion avec une définition simple bien que breve.

^^
oui ta raison
mais juste une petit note c'est qu'on ne veu pa quil le compren comme ça tu voi?
mais en tt cas c bien ^^ A+

oui g compris,
en tt cas pr bien comprendre , un cas particulier :
quand on compare les polynomes
pr tt x
ax²+bx+c=0 implique a=b=c

oui c clair

le concerné kourrah n 3asse daba

wach hadchi f lbinyat ???

oui,

o0aminbe0o a écrit:

salam ;
je vous propose un exo plutôt simple
on pose e_n(x)=exp(nx) pour tout reel x
montrer que la famille (e_1,e_2,...,e_n) est libre
àplus!

En fait , on peut GENERALISER cette propriété ainsi :
Si a1, a2,a3,...............,an sont n réels 2 à 2 distincts avec
a1<a2<.......<an
Alors les n applications de IR dans IR
fi : x --------------> fi(x)=exp(ai.x) pour i=1,2,.....,n
Forment un système libre dans l'espace vectoriel réel F formé des applications de IR dans IR pour sa structure standart .

a1<a2<.......<an
pourquoi???

Ah!!!j'avais assisté à un cours de ça avc mon oncle, mé je n'ai pas fait attention :$.

$arah a écrit:

a1<a2<.......<an
pourquoi???

Aucune raison particulière...
Mais c'est toujours plus simple de manipuler des nombres dont on connait l'ordre c'est tout.

D'ailleurs, dans la plupart des réponses pour une question de ce genre, on citera au début la phrase "quite à réindéxer, on peut supposer a1<...<an"

Sinon, pour cet exo en particulier, ça sent à plein nez le "je dérive n-1 fois, et je joue avec Van Der Monde"
Mais au niveau terminale, inconnu au bataillon, ce déterminant... ça se jouera donc avec une limite en un endroit bien choisi