on notera |a| = a bar
I) soit (a,p)£IN² avec p premier
1/on suppose que p ne divise pas a:
a) montrer que pour tout (i,j)£{0,1,...,(p-1)²}² ; (ia=ja[p])=>i=j
b) en déduire Z/pZ={|ia|/i£{0,1,...,(p-1)²}}
c) en déduire (a^(p-1))*(p-1)!=(p-1)![p]
2/prouver que a^p=a[p] (théoreme de fermat)
II)p et q pemiers et différents ((p;q)£IP² et p#q)
on pose n=(p-1)(q-1)
1) verifier que PGCD(n,n+1)=1
2)soit c£IN tel que PGCD(n,c)=1 , et soit (u,v)£Z² /uc+vn=1
a) prouver qu il existe un (k,d)£ZxIN* /u=nk+d
b) prouver que cd=1[n] (d est détérminé précédemment)
3) prouver que a^(cd)=a[pq] (cd considéré précédemment)
4) application :
p=5 ,q=7 ,c=23
1)trouver d de IN* tel que cd=1[24]
2)soit
f: Z/35Z ->Z/35Z
x---->x^23
prouver que f est une bijection et trouver f^-1
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