INEGALITE.

a,b et c des nombres réels positifs tel que :a+b+c=1 , prouvez que:

slt , cette inégalité belle et difficile en meme temps ,j'ai pu la montrer( ma solution est très laide) , je vé poster ma solution cette nuit ou demain incha2allah
A+

ok.

au fait la sollution est en une ou deux lignes seulement
on a :

quelque soit x £ [0,1]
donc f est concave et d apres Jensen :

memath a écrit:

au fait la sollution est en une ou deux lignes seulement
on a :

quelque soit x £ [0,1]
donc f est concave et d apres Jensen :

clairement faux

Salut , j'ai trouvé un raccourci dans ma démo , donc elle n'est plus laide

l'inégalité équivaut à :
(car a+b+c=1)

ou encore :


<=>

d'après Cauchy shwarz:

posons p=a+b+c=1 , q=ab+ac+bc, r=abc
une simple manipulation nous permet d'établire les formules suivantes :

donc il suffit de Montrer que:

ou encore:

considèrons la fct définie par:


ona:
or q<=1/3 donc 166/31 -376q/31>0 donc f(r) est croissante ,
d'après schur:

donc :

il suffit de démontrer que:

<=>:

ce qui est vrai , car q<=1/3 <2 ,
dedié à sn
A+

voici une sollution dont j ' ai eu l idée quand je revenais du 7anout (j allais acheter du pain) :
on doit montrer que :


posons x=3a , y=3b , z=3c
on a donc  x+y+z=3
et l inegalité deviend :

par schur on a :

donc il suffit de demontrer que :

ou

<==>

<==>

avec :

ce qui est vrai