bon exo/dénombrement

Salut
je vous propose ce bon exo ( de la part de iverson_h3 )

cé un bon exo a faire !
1) on a 1+2+.....+n=n(n+1)/2 boule donc le nbre de cas possible est :C(2,n(n+1)/2) cas possible.

c juste

BJR à Toutes et Tous !!
Merci à iverson_h3 , shinelookat pour avoir posé cet énoncé et à memath de m'avoir invité à cette contribution !!!
Merci à Mr MADANI d'avoir amorcé les réponses.
Voilà ce que je propose :

D’abord , il vaut mieux poser n=2p avec p entier naturel et p>=2
C’est plus simple et les formules seront plus CLAIRES .
On appelle :
T le nombre total de boules
P le nombre total de boules portant numéro PAIR
I le nombre total de boules portant numéro IMPAIR
On sait clairement que :
T=1+2+3+……+n=(1/2).n.(n+1)
=p.(2p+1) et c’est un entier bien sûr !!
P=2+4+6+……+(2p)=2.{1+2+……..+p}
=p.(p+1)
et par suite I=T-P= p²
1) Le nombre de tirages possibles est clairement égal à
C(2 ;T)=(1/2).T.(T-1)=(1/2).p.(2p+1).( 2.p²+p-1)
C’est le nombre de combinaisons de T objets pris 2 à 2 ; c’est un entier naturel, pas de doute là-dessus !!
2) Le nombre de tirages pour avoir deux boules avec numéro PAIR , c’est bien sûr A=C(2 ;P)=(1/2) .P.(P-1)=(1/2).( p²+p).( p²+p-1)
Le nombre de tirages pour avoir deux boules portant numéros de parité différente est B=C(1 ;P).C(1 ;I)=P.I= p3.(p+1)
Maintenant , pour que la somme de deux entiers soit PAIRE il faut et il suffit que les deux entiers soient de MEME PARITE ( tous les 2 pairs ou tous les 2 impairs ) donc C=C(2 ;P)+C(2 ;I)=(1/2).P.(P-1) + (1/2).I.(I-1)=(1/2).{P^2+I^2-P-I}=(1/2).{P^2+I^2-T}
=(1/2).{{p.(p+1)}^2+p^4-p.(p+1)}=p^4+p^3-(1/2).p
Maintenant , si 1<=i<=n on sait qu’il y a i boules portant le numéro i dans l’urne , il est alors immédiat que D=C(1 ;i)=i
Enfin pour la dernière question , elle est juste un peu plus dure et longue à rédiger mais tout à fait dans vos cordes !!

A+ LHASSANE

jolie

memath a écrit:

jolie

BJR à Toutes et Tous !!
BJR et Merci memath !!
Voilà la dernière question de cet exo charmant et amusant ma foi ,comme la plupart des exos de dénombrement car il s'agit toujours d'un JEU !!!!

Spoiler: