les nombres chanceux (Hard)

on dit qu'un nombre entier naturel qu'il est chanceux s'il peut s'ecrire sous forme de somme de deux carres (n=a²+b²==> n est chanceux)

a)montrer que le produit de deux nombres chanceux est aussi chanceux.
b)montrer qu'il n'existe pas un nombre chanceux a tell que 7a est aussi chanceux
c)trouvez tous les nombres premiers p tell que pour tt a chanceux p.a n est pas chanceux
d)trouvez tous les nombres premiers p tell que pour tt a chanceux , p.a est aussi chanceux.

amusez vs bien

1)(a²+b²)(c²+d²)=(ac)²+(ad)²+(bc)²+(bd)²=(ac)²+2abcd+(bd)²+(ad)²+(bc)²-2abcd
=(ac+bd)²+(ad-bc)²

juste , c etais la question la plus facile , tentez les autres

b) on suppose par absurde qu’il existe un nombre n chanceux tel que 7n l’est aussi .
on prend n = a²+b² donc 7n = x²+y² => 7/(x²+y²) => 7/x et 7/y (le tableau)
donc il existe (k ;k’) de N tel que : 7k = x et 7k’=y d’où 7(a²+b²) = 49(k²+k’²)
alors (a²+b²) = 7(k²+k’²) => 7/(a²+b²) => 7/a et 7/b => ….=> contradiction selon le principe de la descente infinie !!

c)et d) selon le théorème des deux carrés de Fermat « Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 intervient à une puissance paire. »

on prend n un nombre chanceux donc : n = (2^a )* (produits(pi^ai)) * (produit (pj^aj)) tel que pi = 4ki+1 et pj=4kj+3 sont des nombres premiers et les aj sont pairs

et alors : P*n n’est chanceux pour tout P ≡≡ 3[4]

et P*n est chanceux pour tout P ≡≡ 1[4] et aussi pour P = 2

juste bien jouée