#Grand Jeu d'été (2008 ) TSM #

est ce que cest juste

juste
poste le deuxieme

ok

voici

EXO 2 jeu d ete TSM


trouver tous les fonctions de R vers R tels que

f(1)=1
f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)

EXO 2 jeu d ete TSM
d abord pour tout x on a f(x+1)=f(x)+1 il suffit de prendre x=1 et laisser y.
donc pour tout entier p on f(p)=p
on va demonter maintenent que pour un rationnel p/q on a f(p/q)=p/q
pour ce faire remplacant x par p et y par 1/q
on a f(p/q +p)=pf(1/q) +p =f(p/q)+p donc f(p/q) =p f(1/q) donc en posant p=2q on trouve f(1/q)=1/q et par suite f(p/q)=p/q
maintenent pour x reel non rationnel
on sait qu il existe une suite de rationnel qui converge vers x
x=lim(p_n/q_n) quand n tend vers l infinit
donc f(x)=f(lim(p_n/q_n)) =lim f(p_n/q_n) =lim p_n/q_n=x
donc la seul fonction qui satisfait la condition c est la fonction identique.

je n sé pas si c juste , mais je crois que f(x+1)=f(x)+1 ne sufffit pas pour dire que f(p)=p pour p un entier !!

ça suffit puisque c'est un récurrence

je vais posté mon exo preparez vous
EXO 3
trouvez les solutions (a,b,c) entieres de l'equation
(a+b+c)^3 + 1/2 (b+c)(c+a)(a+b) = 1 - abc

j ai trouvé les seuls sollutions sont :
(a,b,c)=(1,0,0) et permutations .
est ce juste ??

danc ce jeu on pose la solution toute entiere non pas les supositions

et pour les solutions
on a l'equation est egale a
(a+b+2c) (b+c+2a) (c+a+2b) =2
donne comme a dit memath
troois solutions (1.0.0) et (0.1.0) et (0.0.1)

a toi memath pose un exo et pour tasolution je l'e compté meme si tu dois ecrire la solution. vas- y

je vx poster d abord ma sollution :

par AM-GM :

(a+b+c)^3+1/2(a+b)(b+c)(c+a) >= 31abc

donc 1-abc >= 31abc ==> abc =< 1/32

donc abc=0 ==> a ou b ou c au moins d oit etre nul , supposons que c est c.

on a (a+b)^3+1/2(ab(a+b))=1

(a+b)((a+b)²+1/2(ab))=1

donc (a+b)|1 donc a+b= 1 puisque ce sont des entiers positifs donc l'un s anulle et l autre est egal à 1.
donc (a,b,c)=(1,0,0) + permutations

Exo 3 :

soit a_k le coefficient de x^k dans expansion de (1+2x)^{100} et
0=<k<=100.
trouvez le nombres d'entiers r : 0=<r=<99 tell que :

a_r<a_{r+1}

on travaille avec Combinaison et la fromule de newton
dans l'expansion on trouve
(1+2x)^100= 1+100C1. 2. x + 100 C2. 2^2. x^2 +.....+2^100. x^100.
on a
100C1 < 100 C2 < 100 C3 <.....<100 C 50 (1)
et
100 C 50> 100 C 51 >...> 100C 99 (2)

pour la (1) il y a 51 nombre rentre 0 et 99 tell que :
a_r<a_{r+1} car a_r= 2^r . 100 C r < a_{r+1} = 2^{r+1} . 100 C (r+1)

pour la deuxieme (2) il faut faire une petite manipulation avant
on a 100 C n = 100 C (n+1) . (n+1)/(100-n)
donc (n+1)/(100-n) >= 2 donne n>= 67 donc il y a 32 nombres
donc au total il y a 83 nombres satqfaisont la relation

non ce n est pas juste , la reponse est 67 , cherchez encore !!

montre moi la faute dans mon résonement

je pense que tu as commi la faute dans (2), car pour (1) je crois que c est clair et juste. il doit y avoir des elements que tu as compté deux fois , en tt cas moi jné pas raisonné comme toi , l'un denx doit avoir tort

je vois qu'on travaille que nous les deux ou est les autres

s'il n y a aucune autre réponse apres 2h je poserai un exo

c'est mal organisé on doit donner du temps pour les inscriptions et il doit etre dans le forum TSM et quelqu'un qui dirige allez voir ceux qui sont passé et prenez exemple et ça ira mieux ^^

greatestsmaths a écrit:

EXO 2 jeu d ete TSM
d abord pour tout x on a f(x+1)=f(x)+1 il suffit de prendre x=1 et laisser y.
donc pour tout entier p on f(p)=p
on va demonter maintenent que pour un rationnel p/q on a f(p/q)=p/q
pour ce faire remplacant x par p et y par 1/q
on a f(p/q +p)=pf(1/q) +p =f(p/q)+p donc f(p/q) =p f(1/q) donc en posant p=2q on trouve f(1/q)=1/q et par suite f(p/q)=p/q
maintenent pour x reel non rationnel
on sait qu il existe une suite de rationnel qui converge vers x
x=lim(p_n/q_n) quand n tend vers l infinit
donc f(x)=f(lim(p_n/q_n)) =lim f(p_n/q_n) =lim p_n/q_n=x
donc la seul fonction qui satisfait la condition c est la fonction identique.

c faut , car f n'est pas forcément continu

Exo 3 :

resoudre dans R l equation suivante :

cela fait 4jours que vous avez posté cet exo alors il faut donné leur solution !!!!

ALLEZ PERSONNE PASSEZ A UN AUTRE EXO!!