inégalité facile

x²+y²>=2xy
=>x²-xy+y²>=xy
=>x^3+y^3>=(x+y)xy
=>(x^3+y^3)/(xy)²>=(x+y)/xy
=> x/y²+y/x²>=1/x+&/y

c tres facile:

salut j ai une autre solution
poson A=x/y²+y/x²et B=1/y+1/x
A+1/x+1/y=x²/y+y²/x+1/x+1/y
=(1/x+1/y)*(y/x+x/y)
B+1/x+1/y=2*(1/x+1/y)
on fait la soustraction: (1/x+1/y)*(y/x+x/y-2)>=0 parce que
y/x+x/y>=2
donc on en deduit le suivant :A>=B
facile non?

par symmetrie ; x>=y donc 1/y²>=1/x² , et on reordonne

x/y²+y/x²>=x/x²+y/y²

d'aprés AM-GM on a ; x/y²+1/x>=2/y et y/x²+1/y>=2/x
aprés la somme on trouve que : x/y²+y/x²>=1/x+1/y