inégalité facile

Soient x,y,z des réels strictements positifs tels que xyz = 1
Montrer que x² + y² + z² + x + y + z >= 2(xy + yz + xz)

Voici ma solution (incomplète):

Tout d'abord, et puisque l'inégalité est symétrique, on peut supposer que x>=y>=z
Ensuite, x²+y²+z²>=xy+yz+zx
Il suffit donc de montrer que x+y+z>=xy+yz+zx
On a :
(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+x+y+z-1=(x+y+z)-(xy+yz+zx)
D'autre part, xyz=1 => x>=1 et (y;z)=<1 OU (x;y)>=1 et z=<1
1er cas : (x-1)(y-1)(z-1)>=0, et on conclut.
2ème cas : (x-1)(y-1)(z-1)=<0, ce qui me fait penser que ma manière de procéder n'est pas la bonne, et qu'il ne faudrait pas diviser l'inégalité.

Oui tu ne dois pas étudier les cas.

nobody ?

chebychev a écrit:

Soient x,y,z des réels strictements positifs tels que xyz = 1
Montrer que x² + y² + z² + x + y + z >= 2(xy + yz + xz)

Facile !

On met:

a+b+c=p ,ab+ac+bc=q ,abc=r;

L'inégalité est équivalente à:

p²+p >= 4q,

selon l'inégalité de Schur on a:

p^3+9 >= 4pq (car r=1),

=>p²+9/p >= 4q,

on sait que : p >= 9/p (car p >= 3),

alors:

p²+p >= p²+9/p >= 4q.

ou bien :
x²+y²+z²+x+y+z >=x²+y²+z²+3 = x²+y²+z²+2xyz+1 >= 2(xy+yz+zx)

merci pour l exo

Cette inegalité n'est pas correcte
ex: pour x=2,y=1/2,Z=1 ==> 6,25>7 c'est impossible

ali3985 a écrit:

Cette inegalité n'est pas correcte
ex: pour x=2,y=1/2,Z=1 ==> 6,25>7 c'est impossible

c'est 8.75 !!

xyzakaria a écrit:

x² + y² + z² + x + y + z >= 2(xy + yz + xz)

on a xyz=1 et x.y.z>0 alors x>=x²et y>=y²et z>=z²

on a x²+y²>=2xy (c est facile)

on a z²+x²>=2xz --->z²+x>=2xz

on a z²+y²>=2zy --->z+y>=2zy

donc

x² + y² + z² + x + y + z >= 2(xy + yz + xz)

Désolé mais c'est faux.

Dans ttes les réponses la seule qui est correcte est celle de rachid 18.

chebychev a écrit:

Dans ttes les réponses la seule qui est correcte est celle de rachid 18.

La solution d'adam est aussi correcte.En effet l'inégalité est équivalente à (x-y)²+(z-1)²+2z(x-1)(y-1) >= 0 ce qui est vrai après avoir supposé,sans perte de géneralité,que (x-1)(y-1) >= 0.

on sait d'apres shur que 9abc/(a+b+c) >= 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2 comme abc=1 donc
9/(a+b+c) >= 4( ab+bc+ca)-(a+b+c)^2et puisque
(a+b+c)>=3(abc)^1/3 alors a+b+c>=3 donc
a+b+c>=9/(a+b+c) >= 4( ab+bc+ca)-(a+b+c)^2
et finalement a^2+b^2+c^2+a+b+c>=2(ab+bc+ca)

TIWLIWLA a écrit:

on sait d'apres shur que 9abc/(a+b+c) >= 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2 comme abc=1 donc
9/(a+b+c) >= 4( ab+bc+ca)-(a+b+c)^2et puisque
(a+b+c)>=3(abc)^1/3 alors a+b+c>=3 donc
a+b+c>=9/(a+b+c) >= 4( ab+bc+ca)-(a+b+c)^2
et finalement a^2+b^2+c^2+a+b+c>=2(ab+bc+ca)

svpp c koi ca ?? explique moi pls