3 inequalities from my mind

ABC un triangle A , B , C les angles , proUver que :

ça fait longtemps que j'ai pas posté dans ce topic vue que j'ai oublié bcp
de choses conserant les inégalités (j'étais obsédé par les inégalités l'année dernière maisou cours de cette année j'ai pas le temps de résoudre des problèmes exigeant une maitrise des inégalités du genre
SCHUR,TCHEBCHEV ou autres théorèmes,car on avait seulement besoin de CAUCHY-SHWARTZ qui est la plus utilisé ds les classes prépas),et mnt vue cette effort fourni par yassine pour créer des auto-problèmes (ce qui est plus difficil que les résoudre) j'ai essayé avec elles et voici ma réponses pour la première.les autres (I'm still thinking).

ça m'a pris bcp de temps pr taper + que réfléchir!!
solution de la deuxième inégalité :

Spoiler:

pr la troisième je la laisse pr les autres!!

la deuxieme est tres facile, avec l'indication de radouane bien sur, (celle d el'ensam)
ilsuffit d'utiliser : a² + b² + c² >= (a+b+c)²/3
pour a=sin(2a) et b=sin(2b) et c=sin(2c)

dans lapremière inég , est ce qu'on peut remplacer 1/2 par ( cos(A)+cos(B)+cos(C))/3 ???