******Grand jeu , Inequalities for ever******

Bonjour à tous et à toutes

ce topic s'adresse à tout les fans des inegalités sur ce forum , pour se partager les techniques et les connaissances , et pour s'amuser un peu et oublier le stress des Exams.

pas besoin de vous inscrire , ce topic est destiné à tout les formistes , la seul condition c'est de ne pas poster des hors sujets en tout cas , car nous voulons une bibliotheque de belles connaissances pas une conversation msn.

le jeu va se derouler comme suit ; celui qui connait la sollution la poste entierement , et pas seulement des indices , et reposte à son tour une autre inegalité.

De preference esseyez de degrader la difficulté des inegalités , de la plus facile jusqu' à la plus dur.

La premiere inegalité ca sera moi qui la postera d'ici 5 min.

Bonne chance à vous les inegosman

Organisateurs ; Memath , neutrino

si , une solution n'est pas claire , vs pouvez tjrs demander des expliquations ici ou par mp...
et ben si l'idée ne vs plait pas , tant-pis!!!

Bonne idée.

ok on commence :

soit a,b,c >0 tell que abc=1 . prouvez l inegalité ;

1+3/{a+b+c} >= {6}/{ab+ac+bc}

(probleme latex en ce moment)

memath a écrit:

ok on commence :

soit a,b,c >0 tell que abc=1 . prouvez l inegalité ;

1+3/{a+b+c} >= {6}/{ab+ac+bc}

(probleme latex en ce moment)

par AM-GM le LHS >= 2*sqrt(3/(a+b+c))
alors il suffit de prouver que :
2*sqrt(3/(a+b+c)) >= 6/(ab+ac+bc)
<=> (ab+ac+bc)^2 >= 3(a+b+c)
<=> (ab+ac+bc)^2 >= 3abc(a+b+c) <=> 1/2 * ( (ab-ac)^2 +(ab-bc)^2+(bc-ac)^2 ) >=0 ce qui est vrai
inégalité 2 :
x,y,z des rééls positives tel que xy+yz+xz+2xyz=1
prouver que sqrt(1/2 +1/(2x+1) ) + sqrt( 1/2 + 1/(2y+1)) + sqrt(1/2 +1/(2z+1)) >= 3
crée par moi

sollution :

avec les substitutions classiques : x=a/(b+c) , y=b/(c+a) , z=c/(a+b)
ou a,b et c sont des reels positifs.

l'inegalité deviend :



maintenant par homogeineté on suppose que a+b+c=3

donc l inegalité deviend :







ce qui est toujours vrai.

PS : je cherche une sollution sans les substits.

Inegalité 3 :

un resultat plus fort que le precedant :

soit x,y et z des reels positifs avec xy+yz+zx+2xyz=1 , montrez que :

solution fausse :

solution juste:

EDIT:
dsl les amis , j'ai commis une erreur en dérivant

inégalité 4:
j'ai décidé de diminuer le niveau , pour que tout le monde participe
(a,b,c)>0 , Prouvez que:

sachant que a/b^2+b/a^2>=1/a+1/b
on cycle cette derniere pour trouver l'iné

pour l'inégo de memath je vais posté ma solution

salut INéGALITé 4 :
on a a^3+b^3 = (a+b)(a^2+b^2-ab) ==>
a^3+b^3 >= (a+b)(ab) ==> b/a^2 +a^2/b >= 1/a +1/b
mm chose pour les autres .
pour la reponse de neutrino :
lorsque t'a caonsidere une fonction il faut determiner l'intervalle de DEFINITION + derivabilité enplus tu as dit que
f decroissante ==> sum (a-b)......... >=0 alors que ce né pas claire

greatestmaths :donne une réponse complète , et tu n'as pas le droit de poster une réponse pr l'inég de memath , lis bien les régles, la meme chose pour pilote militaire...
@pilote militaire, f est définie sur [0,3] , et tu peux vérifier qu'elle décroissante sur [0,3] , soit avec la dérivée soit avec l'encadrement , et pr l'implication c'est clair je crois:
si a>=b donc f(a)<=f(b) car f esr décroissante , si a<=b f(a)>=f(b) , dans tous les cas (a-b)( f(a)-f(b)) <=0 ,donc (a-b)( f(b)-f(a))>=0, compris??

EDIT : la fct que j'ai considéré n'est pas décroissante sur tt le segment [0.3], dsl

desole je n'ai pas fais attention aux regles

puis sommont les trois apres avoir changer b par c et c para
on touve ce qu'on veut

on att une autre.

pour inega 3
suposon que
a<=b<=c alors 1/a>=1/b>=1/c
donc: 1/a*(b+c)/a>=1/b*(a+c)/b>=1/c*(a+b)/c
d après l inegalité de chebyshev
(1/a+1/b+1/c)*(b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b)<=(a+b)/c²+(a+c)/b²+(b+c)/a²
et (1/a+1/c+1/b)*(a/c+c/a+a/b+b/a+b/c+c/a-2)>0
d ou
a+b/c²+(a+c)/b²+(b+c)/a²>=2(1/a+1/b+1/c)

c est 4 plutot

greatestsmaths a écrit:

revise ton AM-GM , stp , je me demande si 1/3+1/2 font 1/5 !!!!

@ tt les participants ; respectez l'ordre des problemes , si un probleme est deja resolu vous n avez pas le droit de poster une autre sollution, sinon vous voyez deja l desordre :S

désolé j ai pas fait attention

we t'a raison

greatestsmaths a écrit:

puis sommont les trois apres avoir changer b par c et c para
on touve ce qu'on veut

donc à toi de poster la suivante ineq

quelqu un d autre poste une ineg,peu etre greatestsmaths est deconnecte.

salut houssam;
tu n'as pas besoin de ça .

h-o-u-s-s-a-m a écrit:

donc: 1/a*(b+c)/a>=1/b*(a+c)/b>=1/c*(a+b)/c

mais juste de : (b+c)/a>=(a+c)/b>=(a+b)/c

h-o-u-s-s-a-m a écrit:

d après l inegalité de chebyshev
(1/a+1/b+1/c)*(b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b)<=(a+b)/c²+(a+c)/b²+(b+c)/a²

c plutôt 1/3*(1/a+1/b+1/c)*(b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b)<=(a+b)/c²+(a+c)/b²+(b+c)/a²

h-o-u-s-s-a-m a écrit:

(1/a+1/c+1/b)*(a/c+c/a+a/b+b/a+b/c+c/a-2)>0

je vois pas en qusoi cela t'a aider pour déduire l'inégalité .
tu aurais mieux fait de dire que : a/b +b/a +a/c+c/a+b/c+c/c >=6 ""IAG""
d'ou l'inégalité .
j'ai fait la même méthode que toi

voila l'inégalité