Inequalities

Soit , et des réels strictement positifs.
Prouver que :

Pour la première:
sans perte de généralité supposons que a+b+c=1
et notons : et abc=r
avec q£[0,1], on a donc : a²+b²+c²=(1+2q²)/3 et a³+b³+c³=q²+3r , l'inégalité est donc équivalente à :

lemme:
soit a b et c des réels positifs ,avec a+b+c=1 , notons et abc=r, on a :

fin du lemme...
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revenons à notre problème il suffit donc de prouver que:

ce qui équivaut à :

ce qui est clairement vrai puisque q£[0,1]
sauf erreur....
j'essayerai avec les deux qui restent....

alors pour la troisième:

King a écrit:

Soit , et des réels strictement positifs.
Prouver que :

d'après l'inégalité de Hölder on a :

il suffit donc de prouver que:

ce qui est clairement vrai.....
sauf erreur......

je reviens à la deuxième ....

King a écrit:

Soit , et des réels strictement positifs.
Prouver que :

l'inégalité est équivalente à :

ainsi en utilisant l'inégalité de Cauchy Schwartz il suffit de prouver que:

ce qui équivaut à :

ce qui équivaut à :

ce qui est clairement vrai puisque par Am-Gm on a :

et :
et :

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