1ere phase olympiades d'Espagne

Trouver toutes les fonctions f : ]0,+oo[--> R qui verifient l'equation :
f(x)f(y)+f(m/x)f(m/y)=2f(xy) tel que x et y sont des reels positifs et m un reel positif tel que f(m)=1

Bonjour,

P(x,y) : f(x)f(y) + f(m/x)f(m/y) = 2f(xy)

P(x,m/x) ==> f(m/x) = 1/f(x)
Donc : f(1) = 1/f(m) = 1
Alors : P(x,1) ==> f(x) = 1/f(x)

Donc : f(x) = +1 ou -1
Mais : P(sqrt(x),sqrt(x)) ==> f(x) = f(sqrt(x))^2 >= 0

Donc f(x) = 1 pour tout x de R+*

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Patrick