Olympiades De Rabat 2010 TC ( 2eme phase)

Bonjour tout le monde:
Voilà l'olympiades qu'on a passé cette année :

1) exo :
soit ( x ; y) deux nombres réels , l'un est positif et l'autre négatif .
Trouvez le plus grand nombre :
xy ; x²-y²; (x+y)²;(x-y)²;x²+y².

2) exo :
Montrez que x²+y²+1>= 2(xy-x+y)
Tel que x et y sont réels.

3) exo :
Résolvez dans R ce sytseme :
- V(2x-1) +V(y+3) = 3
- 2xy +6x -y = 7

4)exo :
Résolvez dans R l'équation suivant :

tan(x) + 6/tan(x) = V(1/(cos²(x)-1)) -4V3

5) exo :
ABC est un triangle rectangle en B.
D est la projetction orthogonale de B sur [AC] et E est la moitié de [AC].
On a BD = 4 et BE = 5
Trouvez AB et BC et AC.

6) exo :
ABPC est un équilattéral .
Le cercle cironconsit de ABC coupe CP en Q .
Montrez que AC = PQ dans le seul cas où : (BAC) = 60°


Au plaisir

P.S: J'ai tout fait et je suis passé en 3eme phase et j'ai tout fait ...
Et depuis aucune nouvelle ...

Merci pour le partage. Je posterais peut-être mes solutions plus tard.
PS : après un rapide coup d'œil, es-tu sûr du deuxième exercice ? xy - x + y ?

Merçi Mehdi pour l'olymp. J'aime ce genre d'exercises.

Dijkschneier a écrit:

PS : après un rapide coup d'œil, es-tu sûr du deuxième exercice ? xy - x + y ?

Je l'ai résolu avec les mémes conditions. (Voir mon prochain poste)

1/ On va discuter de deux cas:

Si x>=0 et y=<0 donc (x-y)²>=x²+y²>=x²-y² et (x-y)²>=(x+y)² et (x-y)² , avec xy=<0

Ou x=<0 et y>=0: Méme chose, (x-y)² est le plus grand toujours.

2/ x²+y²+1>=2(xy-x+y) => (x-y)²+1>=-2(x-y) => (x-y)²+2(x-y)+1>=0 => (x-y+1)²>=0 ce qui est juste.

3/ A On a clairement Df égale à 2x-1>=0 et y+3>=0

Or V(2x-1)+V(y+3)=3 est la somme de deux racine carré, donc on aura de solutions pour l'égalité si et si que V(2x-1)=0 et V(y+3)=3 Ou bien V(2x-1)=3 et V(y+3)=0.

Donc: y=3 et x=1/2 ou x=5 et y=-3. Donc S={(1/2 ,3);(5, -3)}.

B/ On a: 2xy+6x-y=7 (1) => x(2y+6)-y=7 => 2x=(7+y)/(y+3) ==> (2)

Remplaçant x par ca valeur dans (1): y*(7+y)/(y+3) +3*(7+y)/(y+3) -y=7
Donc: (y+3)(7+y)/(y+3)=7+y implique que 1=1 ce qui est juste.

4/
Le résultat est clair par Df, 1/(cos²(x)-1)>=0, donc cos²(x)-1>0, on résulte que cos²(x)>1 d'ou cos(x)>1 ou cos(x)<-1. Puisque -1=<cos(x)=<1 donc on aura pas de solution à cette equation !

5/ * ABC rectangle en B et E le milieu de AC et BE=5, BD=4 or (BD)_|_(AC).
Clairement BE=(1/2)AC qui implique que AC=10.
* BED rectangle en D, par pythagore ED²=BE²-BD² donc ED=V(25-16)=3
* Or AD=AE+ED=(1/2)AC+ED=5+3=8 , et en appliquant phytagore dur ABD on aura: AB²=BD²+AD² => AB=V(16+64)=V(80).
* ABC rectangle en B donc BC²=AC²-AB² => BC=V(100-80)=2V5

L'EX 6: je le fais aprés.

Merçi

M.Marjani a écrit:

Je l'ai résolu avec les mémes conditions. (Voir mon prochain poste)

M.Marjani a écrit:

2/ x²+y²+1>=2(xy-x+y) => (x-y)²+1>=-2(x-y) => (x-y)²+2(x-y)+1>=0 => (x-y+1)²>=0 ce qui est juste.

Il est vrai. Je me suis hâté. J'ai fait de même. Bien.

Concernant le sixième exercice, ABCP est quoi, au juste ?

Euh .. marjani bien joué .
Mais Cependant le 3eme et 4eme exercice sont faux .
Par contre ce qui reste est juste.
Bon je poste la solution du 3eme :
On a 2xy +x - y = 7
Donc 2xy+6x-y-3=4 => (2x-1)(y+3)=4
La premiere équation on a : V(2x-1) + V(y+3) = 3
Donc 2x-1+y+3+2V(2x-1)(y+3) = 9
2x+y+2+2V4=9 => 2x+y = 3
Donc y = 3 - 2x

On remplace cela dans l'équation :
On a 2x(3-2x) +6x -3 +2x = 7
6x -4x²+6x-3+2x=7
4x²-14x+10=0

On fait Delta et tout ...
On trouve X1 = 1 Et X2 = 2/5
Donc Y2 = 1 Et Y2 = -2

S={(1;1);(2/5;-2)}


Pour le 4eme exercice :

On a tanx + 6 /tanx = V(1/(cos²(x))-1) -4V3
Equivaut a tanx +6/tanx = |tanx| -4V3

Là on a deux cas :
Soit |tanx| = tanx ou |tanx| = -tanx

1er cas :
|tanx|=tanx
Donc tanx +6/tanx=tanx - 4V3
Donc tanx=-V3/2
J'ai refusé ce cas car ils ne nous ont pas laissé une calculatrice et sinn on ne peut calculer la valeur de x sans calculatrice.

2eme cas :
|tanx| = -tanx
Donc tanx + 6 /tanx = -tanx -4V3
2tanx² +4V3 tanx +6 = 0

Delta = 0
Donc une seule solution :
tanx = -b/2a = -4V3/4 = -V3

Donc S={-pi/3 + kpi / k E Z}

Voilà ...

Et pour le dernier cc'est celui qui m'as pris un peu de temps mais la solution est facile mais pas évidente.

Bon on a A et B et C et Q appartiennet au cercle.
BAC = 60° et donc le rayon entre B et C équivaut à L1 = R.BAC
et puisque Q appartient au cerlce ausssi Donc L2 = R . BQC
Si on additionne L1 + L2 = 360°
Donc BAC + BQC = 180°
Donc BQC = 120°
Et puisque Q appartient à[CP]
Donc Q ET C ET P sont alignées
Ce qui s'ensuit que BQP = 60°(1)
Et on sait que QPB = 60°(2). puisque ABPC est un équimattéral et deux angles en face sont égaux
Donc de (1) et de (2) BPQ est un triangle motassawi l2adla3.
Ce qui s'ensuit que PQ = BP
et puisque ABPC est équilattéral et AC = BP
Donc PQ = AC dans le seul cas où BAC = 60°
Parsqu'on sait que un triangle motassawi l2adla3 est un cas unique et la condition de AC = BP ne peut se présenter sauf si ce cas se présente ( un agle = 60° )


Voilà et merci

Amicalement

Mehdi.O a écrit:

Euh .. marjani bien joué .
Mais Cependant le 3eme et 4eme exercice sont faux .

Il m'a pris 30 min pour finir les soluc postés.
Pour le troisiéme, j'ai pas posté la solution du systéme, ce n'est qu'un éclairage. (J'ai pas fais attention au systéme, je l'ai résolu en tant que deux equations indépendantes à cause de l'écriture).

Pour le quatriéme, t'es sure qu'il n'y a pas une faute dans l'énoncé?

Non sûr et certain ....

Mehdi.O a écrit:

Non sûr et certain ....

Voiçi la faute:

Dans l'énoncé:

tan(x) + 6/tan(x) = V(1/(cos²(x)-1)) -4V3

Or tan²(x)=Sin²(x)/Cos²(x)=[1-Cos²(x)]/Cos²(x)=[1/Cos²(x)]-1

Fais attention au parenthéses. ))

Bon je compléte:

Solution 3:

* Par 2xy+6x-y=7 On peut avoir 2x=(7+y)/(y+3) => V(2x-1)=2/V(y+3) (1)
* De méme façon: y=(7-6x)/(2x-1) => V(y+3)=2/V(2x-1) (2)
En sommant (1) et (2): V(2x+1)+V(y+3) = 2*( 1/(V(2x-1) +1/V(y+3) )
Donc: 1/V(2x-1) + 1/V(y+3) = 3/2 qui implique que V[(2x-1)(y+3)]=2 (A)
* V(2x-1) + V(y+3)=3 implique que 2x-1+y+3-9=-2V[(2x-1)(y+3)]=-4 Donc 2x=3-y (B)
* On remplaçe (B) dans 2xy+6x-y=7 donc y(3-y)+3(3-y)-y=7 => y²+y-2=0. y=-2 et y=1
Et en remplaçant dans le systéme on aura: S={(5/2,-2);(1,1)}

PS: Pour Mehdi, c'est plutot x=5/2 et y=-2 non pas x=2/5.

Oui c'est bien ça 5/2 Désolé juste une faute de frappe ..
Sinon pour les autres exercices c'est bien juste ??

M.Marjani a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Non sûr et certain ....

Voiçi la faute:

Dans l'énoncé:

tan(x) + 6/tan(x) = V(1/(cos²(x)-1)) -4V3

Or tan²(x)=Sin²(x)/Cos²(x)=[1-Cos²(x)]/Cos²(x)=[1/Cos²(x)]-1

Fais attention au parenthéses. ))

Solution 4:

On sait que: (1/Cos²(x))-1=tan²(x)=X.

Si X>=0: tan(x)+6/tan(x)=V((1/Cos²(x))-1)-4V3 => 6/tan(x)=-4V3 donc tan(x)=-V3/2.

Si X=<0: 2*tan²(x)+6=-4V3*tan(x) donc 2*tan²(x)+4V3*tan(x)+6=0. Delta=0 donc tan(x)=-V3.

Donc S={-Pi/3+kPi /k£IZ; 9Pi/20+kPi /k£IZ}

PS: Juste le sixiéme exercise, on attend ce que tu voullais dire par 'ABPC equilatéral'.

ABPC motawazi al2adla3.
Et pour le 4eme exercice, ce n'est pas x>=0 mais tanx>=0
Et la deuxieme solution celle de 9Pi/20est totalement fausse vérifie la.


Au plaisir

Mehdi.O a écrit:

ABPC motawazi al2adla3.
Et pour le 4eme exercice, ce n'est pas x>=0 mais tanx>=0
Et la deuxieme solution celle de 9Pi/20est totalement fausse vérifie la.


Au plaisir

J'ai posé dans la feuille X=tan(x) c'est pourquoi..

Ecrire une solution prés du juste, mieux que ne pas écrire

409Pi/900 c'est plus proche.

Oui ...
Bon pour y voir plus clair dans le denrier exo voilà la figure :

Mehdi.O a écrit:

Oui ...
Bon pour y voir plus clair dans le denrier exo voilà la figure :

Un parallélogramme = متوازي الأضلاع
C'est bon.. c'est résolu. Quand j'aurai du temps je posterai le réponse.

Citation :

6) exo :
ABPC est un parallélogramme.
Le cercle circonscrit de ABC coupe CP en Q .
Montrez que AC = PQ dans le seul cas où : (BAC) = 60°

Je présente ma solution.
- Montrons que si l'angle BAC vaut 60 degrés, alors AC = PQ :
ABQC forme un quadrilatère inscriptible non croisé, donc les deux angle BAC et BQC sont supplémentaires. Par suite, BQC = 120 degrés, ou encore, BQP = 60 degrés, étant donné l'alignement des trois points C, Q et P. De plus, les deux angles BAC et BPC sont égaux en raison de la nature du quadrilatère ABPC, et valent par conséquent 60 degrés. Le triangle BPQ a donc deux angles d'amplitude égale à 60, par conséquent, il est équilatéral : PQ = BP. Mais BP = AC, car ce sont deux côtés opposés d'un parallélogramme. Finalement : PQ = AC.
- Montrons que si AC = PQ, alors l'angle BAC est égal à 60 degrés :
Le résultat d'avant ne change pas : les trois angles BQP, BPQ, et BAC se valent. Maintenant, puisque AC = PQ, et que naturellement, AC = BP, alors BP = PQ, et le triangle BQP est isocèle en P. De plus, il est isocèle en Q. Il est donc équialtéral, et il vient que BPQ = 60 degrés. Par conséquent, BAC = 60 degrés.

Oui excellent .
C'est la meme solution ke la mienne sauf reformulé d'une autre manière

J ai jamais étudié les maths en francais donc excusez moi pour les termes j'y suis pas habitué ...

Voilà le 4eme exercice pour mieux le voir :



Au plaisir

Dijkschneier a écrit:

Citation :

6) exo :
ABPC est un parallélogramme.
Le cercle circonscrit de ABC coupe CP en Q .
Montrez que AC = PQ dans le seul cas où : (BAC) = 60°

Je présente ma solution.
- Montrons que si l'angle BAC vaut 60 degrés, alors AC = PQ :
ABQC forme un quadrilatère inscriptible non croisé, donc les deux angle BAC et BQC sont supplémentaires. Par suite, BQC = 120 degrés, ou encore, BQP = 60 degrés, étant donné l'alignement des trois points C, Q et P. De plus, les deux angles BAC et BPC sont égaux en raison de la nature du quadrilatère ABPC, et valent par conséquent 60 degrés. Le triangle BPQ a donc deux angles d'amplitude égale à 60, par conséquent, il est équilatéral : PQ = BP. Mais BP = AC, car ce sont deux côtés opposés d'un parallélogramme. Finalement : PQ = AC.
- Montrons que si AC = PQ, alors l'angle BAC est égal à 60 degrés :
Le résultat d'avant ne change pas : les trois angles BQP, BPQ, et BAC se valent. Maintenant, puisque AC = PQ, et que naturellement, AC = BP, alors BP = PQ, et le triangle BQP est isocèle en P. De plus, il est isocèle en Q. Il est donc équialtéral, et il vient que BPQ = 60 degrés. Par conséquent, BAC = 60 degrés.

Bien.
Mais pour la réciproque, je veux une explication en ce qui concerne ce qui est en bleu. Du premier coup, on peux pas juger que O est le milieu de AC ni BQ=AC, on peux dire seulement AC=BP=PQ.

M.Marjani a écrit:

Bien.
Mais pour la réciproque, je veux une explication en ce qui concerne ce qui est en bleu. Du premier coup, on peux pas juger que O est le milieu de AC ni BQ=AC, on peux dire seulement AC=BP=PQ.

Merci.
O ?!
Les trois angles BQP, BPQ, et BAC se valent, et je n'ai pas repris la démonstration car je l'ai détaillée dans le sens direct : "ABQC forme un quadrilatère inscriptible non croisé, donc les deux angle BAC et BQC sont supplémentaires. [...] Etant donné l'alignement des trois points C, Q et P, il vient BQP = BAC. De plus, les deux angles BAC et BPC sont égaux en raison de la nature du quadrilatère ABPC"

Ma solution est bonne aussi nn?
Celle des rayons.