problème N°37 de la semaine (10/07/2006-16/07/2006

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

j'ai trouvé la solution

solution postée

je pense que tu voulais dire some de p=1 à p=n-1


voici la solution de Pilot aziz

=

Bonjour,

Solution postée
voici la solution de pco


Bonjour,

Il s'agit de calculer S(n) = sum_{p=1,n}(sum_{q=p+1,n} (pq))

En préambule, rappelons :
sum_{p=1,n}(p) = n(n+1)/2
sum_{p=1,n}(p^2) = n(n+1)(2n+1)/6
sum_{p=1,n}(p^3) = n^2(n+1)^2/4

Dès lors :
sum_{q=p+1,n} (pq) = p sum_{q=p+1,n} (q) = p(n+p+1)(n-p)/2 = (-p^3 - p^2 +
n(n+1)p)/2
Et :
S(n) = sum_{p=1,n}((-p^3 - p^2 + n(n+1)p)/2)
= - sum_{p=1,n}(p^3)/2 - sum_{p=1,n}(p^2)/2 + n(n+1)sum_{p=1,n}(p)/2
= n(n-1)(n+1)(3n+2)/24

--
Patrick

bonjour,

solution postée

Thomas

Bonjour,
solution postée
Voici la solution d'abdelbaki.attioui
On pose S_a(n)=(somme de p=1 à n) p^a.
Il est bien connu que:
S_1(n)=n(n+1)/2
S_2(n)=n(n+1)(2n+1)/6
S_3(n)=n²(n+1)²/4=S_1(n)²
On a : S=(somme de p=1 à n)p(S_1(n)-S_1(p))
<==> S= S_1(n)²-(somme de p=1 à n)p²(p+1)/2
<==> S= S_1(n)²-S_3(n)/2-S_2(n)/2= (S_3(n)-S_2(n))/2
<==> S= n(n+1) ( n(n+1)/2 -(2n+1)/3)/4
<==> S= n(n+1)(3n²-n-2)/24=n(n+1)(n-1)(3n+2)/24
<==> S= n(n²-1)(3n+2)/24
A+

BoNjOuR sOlUtIoN pOsTeE
voici la solution deYalcin

S=∑(∑(pq,q=p+1..n),p=1..n)
S=∑(p∑(q,q=p+1..n),p=1..n)
S=∑(p(∑(q,q=1..n)-∑(q,q=1..p)),p=1..n)
S=∑(p(n(n+1)/2-p(p+1)/2),p=1..n)
S=[n(n+1)/2]²-∑(p²(p+1)/2,p=1..n)
S=[n(n+1)/2]²-(1/2)[n(n+1)/2]²-(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6]
S=(1/24)(n-1)n(n+1)(3n+2)
:-)

a+

Bonjour,
Solution postée .
voici la solution de Bouchra
Calcul bête et méchant:
S = sum_(p=1..n) (p sum_(q=p+1..n) (q))
S = sum_(p=1..n) (p [n(n+1)/2 - p(p+1)/2]
S = (n(n+1)/2) sum_(p=1..n) p - (1/2) [ sum_(p=1..n) p^3 +sum_(p=1..n) p^2 ]
S = [n(n+1)/2]^2 -(1/2) [n(n+1)/2]^2 - (1/2) n(n+1)(2n+1)/6
S = (1/2) n(n+1)/2 [n(n+1)/2 -(2n+1)/3]

S = n(n+1)(3n^2-n-2)/24 = n(n-1)(3n^2+5n+2)/24

(sauf erreur)--
Bouchra

bonjour
solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

S=\Sigma _{p=1}^{p=n}p(n-p)(p+n+1)/2
2S =n(n+1) sigma_{p=1}^{p=n}{p} -sigma_{p=1}^{p=n}{p²} -sigma _{p=1}^{p=n}{p^3}
2S = n²(n+1)²/2 -n(n+1)(2n+1)/6 -n²(n+1)²/4

conclusion: S = n( n²-1)(3n+2) /24

sauf erreur...

solution postee
voici la solution de Kalm
on a somme de p=1 jusqu'a n)(somme de p=q+1 jusqu'a n)pq
<=> somme de p=1 jusqu'a n)[(p+1+p+2+...+n)p]
<=> somme de p=1 jusqu'a n)[(n-1)p+n(n+1)/2)p]
<=>(n-1)( somme de p=1 jusqu'a n)p^2+ n(n+1)/2)(somme de p=1 jusqu'a n)p
<=> (n-1)n(n+1)(2n+1)/6 + [n(n+1)/2]^2

Bonjour;
Solution postée
voici la solution d'elhor abdelali
Bonjour;
Je crois qu'il s'agit effectivement de la somme :
S = Somme(1<= p <= n-1) ( Somme(p+1<= q <= n) pq ) où n>1
C'est une somme finie et on a par inversion:
S = Somme(2<=q <= n) [q( Somme(1<= p <= q-1) p )]
= (1/2) Somme(2<=q <= n) [q²(q-1)]
= (1/2) Somme(1<=q <= n) (q3 - q²)
= (1/2)(n(n+1)/2 )² - (1/2)n(n+1)(2n+1)/6
soit aprés simplification
S=(n-1)n(n+1)(3n+2)/24
(Sauf erreur bien entendu)

Bonjour,

Solution postée...!!!
voici la solution de bhdih

solution postée

Salam
Solution postée
voici la solution de Mahdi
p=n(n+1)/2
q=n(n+p+1)/2
alors S=n²(n+1)(n+p+1)/4

Bonjour les matheux...

Nos solutions sont déjà postées mais comment échanger ces solutions ? et avec qui ?

bhdih a écrit:

Bonjour les matheux...

Nos solutions sont déjà postées mais comment échanger ces solutions ? et avec qui ?

tu dois attendre la fin de la semaine c'est à dire le lundi 17/07/2006 pou voir les solutions

Salam,

Solution postée
voici la solution de GOOOOD
Salam,

On a donc :
S=Sigma(p=1->n)Sigma(q=p+1->n)pq
=Sigma(p=1->n)pSigma(q=p+1->n)q
=Sigma(p=1->n)p(Sigma(q=1->n)-Sigma(q=1->p))
=Sigma(p=1->n)p(n(n+1)/2-p(p+1)/2))
=(n(n+1)/2)^2-Sigma(p=1->n)p^2(p+1)/2

Considérons un polynôme du 4ème degré tel que :
f(x)-f(x-1)=x^2(x+1)/2
ax^4+bx^3+cx^2+dx-a(x-1)^4-b(x-1)^3-c(x-1)^2-d(x-1)=(1/2)x^3+(1/2)x²

Tout calcul fait, on obtient :
a=1/8, b=5/12, c=3/8 et d=1/12.

Notre somme serait donc (si je ne trompe) :
S=n^4/8+n^3/12-n^2/8-n/12.

D'accord !
Je dois attendre jusqu'au 17/07/2006.....

aujourd'hui 17/07/2006

qu'est ce que tu veux dire mahdi

hahahahhaa pourquoi tu repetes les messages ?????
en fait je voulus dire la meme chose mais sans répéter alors j'ai cité ta phrase s'il ya un probleme je suis desolé.
T'inquietes pas !! la prochaine tu mets a coté de ton message "copyright chouchou all rights reserved 2006"

Afficher les réponses SVP...!!!

merci pour les renseignements