inégalité

Bonjour les amis ..

montrez que :
A(x،y)€IR^2 : x/(y^2) + y/(x^2) >= 1/x + 1/y
concluez que :
A(a،b،c)€IR^3: (a+b)/(c^2)+(c+b)/(a^2)+(a+c)/(b^2)>=2(1/a+1/b+1/c)

N.B : A indique Quelque soit ..

tres facile:
pour la premier
x/y²-1/y+y/x²-1/x=(x-y)/y²+(y-x)/x²= x²(x-y)-y²(x-y)/x²y²
=(x-y)²(x+y)/x²y²>=0 d'ou l'inegalité
pour la deuxieme:
il ya une faute dans l'exo.

voila je crois que c ca le vrai exo:
prouver que:
a+b/a²+b² + b+c/b²+c² + c+a/c²+a² =< 1/2(1/a+1/b+1/c)

http://arabmaths.ifrance.com/olym1sm/olymars07.pdf

merci bcp yassin pour le lien.

mathsmaster a écrit:

tres facile:
pour la premier
x/y²-1/y+y/x²-1/x=(x-y)/y²+(y-x)/x²= x²(x-y)-y²(x-y)/x²y²
=(x-y)²(x+y)/x²y²>=0 d'ou l'inegalité
pour la deuxieme:
il ya une faute dans l'exo.

merci mes amis mathsmaster،yassine..
il y a une autre méthode mais on termine avec le méme résultat ..
x/y²-1/x+y/x²-1/y = (x²-y²)/xy² + (y²-x²)/x²y
le reste c'est facile ..
...
(x-y)²(x+y)/x²y²>=0
on sait que
(x-y)²/x²y²>=0
mais je crois qu'on sait pas exactement le signe du x+y ??

x et y > 0

x/y²+y/x²> (x+y)/xy

=> x^3+y^3 > xy(x+y)

=>(x+y)(x²-xy+y²) >(x+y)xy
=> x²+y² > 2xy

ce qui est vrai

y-a-ss-i-n-e a écrit:

x/y²+y/x²> (x+y)/xy

=> x^3+y^3 > xy(x+y)

=>(x+y)(x²-xy+y²) >(x+y)xy
=> x²+y² > 2xy

ce qui est vrai

merci mais je crois que x et y appartient à IR ..
alors on sait pas le signe de x+y ..
et on peut pas iktqzal avec quelque chose qu'on sait pas sa signe ...
c'est ça que je sais..

ou étes vous ???
ce que j'ai dit est-il faux ???

x et y £ IR+ machi IR exemple x=-2 et y=1

alors il y a une faute dans l'énnoncé ?
et pour la 2éme question ???

D'après la 1ère question :
S=(a+b)/(c^2)+(c+b)/(a^2)+(a+c)/(b^2)
S=a/c² + c/a² + b/c² +c/b² + b/a² + a/b²
On conclut en appliquant la première inégalité.