- imane20 a écrit:
- soit f la fonction définie sur R par:
Pour tout n de N^* on pose: 
Calculer: 
En fait si je note gn=f^{n} la n-ième itérée de f .
( Au passage et par convention g0=Id donc il n'y a aucun inconvénient à supposer n dans IN )
On peut observer que f(0)=0 puis que pour tout n dans IN* , gn(0)=0
Donc en fait , il revient au même de prouver que gn est DERIVABLE au point ZERO et de déterminer la valeur de de cette dérivée .
Maintenant , on peut remarquer que {g(n+1)}'={gnof}'=f'.{gn}'(f) et que f'(0)=3 alors celà donne au point ZERO :
{gnof}'(0)=f'(0).{gn}'(f(0)) soit ={g(n+1)}'(0)=3.{gn}'(0)
et permet de conclure que la suite {{g(n+1)}'(0)}n est
GEOMETRIQUE de raison 3 et
de premier terme {g0}'(0)=1 .
EN CONCLUSION : ta LIMITE vaut 3^n pour tout entier naturel n .
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