une matrice (à la puissance 2006)

Salut,


Une proposition qui a l'air trop simple pour être correcte :

rang(XY) <= min (rang(X),rang(Y)) pour toute matrice X,Y

donc ici rang(B) = rang(A*(B-I)) <= rang(A) < n
=> det(B) = 0

Où intervient le fait que A est nilpotent, il suffit que A soit non inversible

Bonjour

Effectivement, det(A)=0 suffit.
En effet B=A(B-I) donc det(B)=det(A)det(B-I)=0

AA+

AB = A+B => (A-I)B=A => det(A-I)det(B)=det(A)=0. (car A est nilpotent)
et puisque A^(2006)=0
alors A^(2006)-I = - I = (A-I)(...)
d'ou det(A-I) # 0
et det(B)=0