problème N°38 de la semaine (17/07/2006-23/07/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

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Merci

Niveau Terminal

Bonjour,

Solution postée.
voici la solution de pco

Le nombre de chiffres de x > 0 est 1 + [log10(x)] (où [y] désigne la partie
entière de y)

Donc :
a = 1 + [log10(2^2006)] = 1 + [2006 log10(2)] et, bien sûr, 2006
log10(2)- 1 < a-1 < 2006 log10(2)
L'important est de noter l'inégalité stricte à droite qui est due au fait
que log10(2) est irrationnel, et donc 2006 log10(2) ne peut être entier, et
donc [2006 log10(2)] < 2006 log10(2).

Alors : 2006 log10(2) < a < 2006 log10(2) + 1
De même : 2006 log10(5) < b < 2006 log10(5) + 1 (log10(5) est
également irrationnel)
Et donc : 2006 log10(10) < a + b < 2006 log10(10) + 2
Soit : 2006 < a+b < 2008

Donc a+b = 2007

--
Patrick
--

Bonjour

solution postée

voici la solution de Yalcin
soit n un entier naturel non nul et qui n'est pas de la forme 10^m avec m entier.
soit p le nombre de chiffres de n ,alors on a : 10^(p-1)<=n<10^p
donc on a : p-1<=ln(n)/ln(10)<p, soit log(n)<p<=log(n)+1
donc on a : floor(log(n))+frac(log(n))<p<=floor(log(n))+frac(log(n))+1
donc frac(log(n))<p-floor(log(n))<=1+frac(log(n)) , comme n n'est pas de la forme 10^m,alors frac(log(n)) est dans ]0;1[ et non dans [0;1[ , en plus "p-floor(log(n))" est un entier,alors on déduit qu'on a : p-floor(log(n))=1 ,donc p=floor(log(n))+1
d'où a+b=[floor(log(2^2006))+1]+[floor(log(5^2006))+1]=2007 (on utilise le fait que log(2^2006)=2006.log(2) (et pareil pour 5 )).
voilà

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui

Bonjour
On a :
10^(a-1)=<2^2006 < 10^a et 10^(b-1)=<5^2006 < 10^b
<==> a-1=[2006 ln(2)/ln(10)] et b-1=[2006 ln(5)/ln(10)]
<==> a-1=2006 + [-2006 ln(5)/ln(10)] et b-1=[2006 ln(5)/ln(10)]
<==> a+b=2008 +[2006 ln(5)/ln(10)]+[-2006 ln(5)/ln(10)]

Mais si x dans Z, [x]+[-x]= 0 et [x]+[-x]=-1 sinon
Or x= 2006 ln(5)/ln(10) n'est pas dans Z puisque 10^x=5^2006 n'a pas de solution dans Z. Donc a+b=2007
A+

Bonjour;
Solution postée
voici la solution d'elhor abdelali
Bonjour;
Le nombre de chiffres d'un entier naturel n étant l'entier N(n)=[Log(n)]+1
où la notation [Log(n)] désigne la partie entière du logarithme décimal de n on a :
a+b = [Log(2^2006)]+[Log(5^2006)]+2
on sait que pour tous réels X et Y,
[X] + [Y] <= X + Y < [X] + [Y] + 2
avec la remarque que si l'un des deux réels X ou Y n'est pas entier,
[X]+[Y] < X+Y
ici on a X = Log(2^2006) , Y= Log(5^2006) , X+Y = 2006 et X n'est pas entier
( vu que 2^2006 n'est pas puissance de 10 ) d'où,
[X]+[Y] < 2006 < [X]+[Y]+2 c'est à dire
2004 < [X]+[Y] < 2006 soit [X]+[Y] = 2005
En conclusion a+b = 2007
Sauf erreurs bien entendu

salut
solution postée
voici la solution d' eto
on a 2^2006*5^2006=10^2006
on pose
2^2006=a_n*10^n+a_n-1*10^n-1+.............+a_0 et
5^2006=b_k*10^k+b_k-1*10^k-1+..............+b_0
2^2006^5^2006=(a_n+b_k)10^n+k +(a_nb_k-1+a_n-1*b_k)10^n+k-1+........................................=10^2006
on a 1=<a_n=<9
et 1=<b_k=<9
et 0=<a_n-1=<9
et 0=<b_k-1=<9
donc 1=<a_n*b_k=<81
et 0=<a_n*b_k-1+a_n-1*b_k=<162
et 81*10+162<1000
alors a_n*b_k=1 ou 10
puisque les coeficients a_i et b_j ne sont pas tous nuls alors a_n*b_k=10
alors 10^2006=10^n+k+1
==>a+b=n+k+2=2007(sauf erreur de calcul)

pas mal comme probleme

solution postée

taredot a écrit:

pas mal comme probleme

solution postée

la semaine N° 38 est terminée
essayer avec le Problème N° 39

je veux savoir si ma reponse est juste svp et merci