continuité

Soit f : R*+--->R croissante.
Montrer que f est continue si et seulement si il existe g,
une fonction continue, telle que f/g soit décroissante.

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit f : R*+--->R croissante.
Montrer que f est continue si et seulement si il existe g,
une fonction continue, telle que f/g soit décroissante.

lu,
enfaite, cet exo se base sur l'exo ue j'ai posté "Limite", en effect :
soit x_0£IR+.
f est croissante donc admet une limite à gauche et à droite en x_0 finies et :
lim(x-->x_0 et x<x_0) { f(x) } < f(x_0) < lim(x-->x_0 et x>x_0) { f(x) }
f/g est décroissante donc admet une limite à gauche et à droite en x_0 finies et : lim(x-->x_0 et x>x_0) { (f/g)(x) } < (f/g)(x_0) < lim(x-->x_0 et x<x_0) { (f/g)(x) }
g est continue ---> [lim(x-->x_0 et x>x_0) { f(x) }]/g(x_0) < f(x_0)/g(x_0) < [lim(x-->x_0 et x>x_0) { f(x) }]/g(x_0).
d'où le résultat.