2 exercices pour débuter !

slt,
1) soit f une fonction de IR+ vers IR dérivable sur IR+ et vérifie : f(x)+f '(x) =< 1 pour tt x>=0
Mq : f est majorée !
2) Montrer qu'il n'existe pas de suites de IN vers IN, strictement décroissante

ok
pour le premier on pose f(x)=e^(-x)g(x)
donc f(x)+f'(x)=g'(x)/e^x =<1 =>g'(x)=<e^x
=>g(x)=<e^x+m =>f(x)=<1+m/e^x=<1+rac(m²) (m de IR)
d'ou f est majoré
2)
on suppose que (u_n) est une suite dans IN et strictement decroissante
on pose A={u_n / n£IN } on a A est une partie de IN donc elle admet un plus petit element m donc il existe p de IN tel que m=u_p
et puisque (u_n) est decroissante donc a_(p+1)=<a_p et a_(p+1)£A (absurde) car a_p=min(A) d'ou cette suite n'existe pas

j'ai rien compris a ta première réponse kalm !

salut tout le monde

kalm a écrit:

=>g(x)=<e^x+m =>f(x)=<1+m/e^x=<1+rac(m²) (m de IR)

je l'ai pas compris; et même l'idée de poser f(x)=e^(-x)g(x) ?????!!

l'idée c'est pour supprimer deux termes pour avoir un seul
et pour le passage de g' a g c'set l'integrale bien sur et la constante m est liée par la deuxieme borne de l'integrale et celle aussi de e^x c'est juste des calcule bah essayez de comprendre par ecrire c qu'il ya entre les lignes

tu as lu ma demo?

non,mais maintenant oui et elle est fausse

kalm a écrit:

ok
pour le premier on pose f(x)=e^(-x)g(x)
donc f(x)+f'(x)=g'(x)/e^x =<1 =>g'(x)=<e^x
=>g(x)=<e^x+m =>f(x)=<1+m/e^x=<1+rac(m²) (m de IR)
d'ou f est majoré
2)
on suppose que (u_n) est une suite dans IN et strictement decroissante
on pose A={u_n / n£IN } on a A est une partie de IN donc elle admet un plus petit element m donc il existe p de IN tel que m=u_p
et puisque (u_n) est decroissante donc a_(p+1)=<a_p et a_(p+1)£A (absurde) car a_p=min(A) d'ou cette suite n'existe pas

Pour le 1er, l'idée est bonne Kalm, mais pas très bien ficelée, et je propose une méthode similaire :
f'(x)+f(x) =< 1 donne [e^x(f(x)-1)] ' =< 0 donc x---->e^x(f(x)-1) est décroissante sur IR+ d'où : pour tt x >= 0 f(x)-1 =< [f(0)-1]/e^x =< /f(0)-1/
d'où 1+/f(0)-1/ est la valeur maximale de f !!
Pour le 2ème je propose une autre solution par l'absurde, en effet sil existe une telle suite qu'on note u(n), on aura pr tt n de IN
n =< u(0) - u(n), or u(n) converge vers une limite finie L car elle est décroissante et minorée par 0, dc v(n) = n est convegente de limite u(0)-L, ce qui est absurde !!

stifler a écrit:

on a f vérifie la relation pour tt x>=0 [/b][b]f(x)+f '(x) =< 1
on a f une fonction de IR+vers IR se qui vérifie la condition
alors f(x)<1 et f'(x)<1

La voilà ton erreur...

merci le passage et faux c'est vrai ^^ j'ai plus d'équivalence ^^