Lemme (à propos des matrices)

Demontrer le Lemme suivant qui nous donneune solution trivialeà l'exercice (matricie à la puissance 2006)

lemme:
Si A,B se commutent, et A nilpotent
Alors det(A+B)=detB

A et B commutent donc on peut les co-trigonaliser (au besoin dans Mn(C)).
Comme A est nilpotente elle est semblable à une matrice strictement triangulaire .....

Bonjour

Si B est inversible d'inverse C, A+B= B(CA+I). On a A et C commutent alors CA nilpotente elle est donc semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle alors det(CA+I)=1, d'où le résultat.

Si B n'est pas inversible alors det(B)=0 . Il suffit de montrer que A+B est non inversible. Sinon, il existe une matrice C telle que C(A+B)=(A+B)C=I.
Alors CB=CA+I. Il est clair que C et A commutent donc CA nilpotente donc CA+I inversible i.e CB inversible ce qui donne B inversible absurde.

AA+

Salut,

ERRATUM Lire dans avant derniere ligne CB=-CA+I

AA+

Bonjour,

Voici une démo de det(B)=0 implique det(A+B)=0.

On a A^p=0 ( p l'indice de nilpotentce de A). Alors en développant on peut mettre (A+B)^p= BC , d'où le résultat.
AA+

Bonsoir,

sous les même hypothèses A+B et B ont même polynôme caractéristique .

lolo

je voulais dire : ont-elles même polynômes caractéristique ?

lolo (qui croit bien que oui quand même mais qui va au dodo)

Bonjour, oui elles ont le même polynôme caractéristique. Si A et B commutent, il en est de même que A et B-xI pour tout x, où I=identité.
Donc det(A+B-xI)=det(B-xI) d'où le résultat.

AA+