Bon exercice

salam o alikom

soit u une fct definie sur [0 1] vers [0 1] et continue sur [0 1]

1 - mq il existe C € [0 1] tel que u(C)=C ( application directe du Tvi)

2- soit v une fct continue sur I mq si v ne s'annule pas alors

- (quelque soit x € I) / v(x)<0 ou (qlq soit x € I) v(x) >0 ( utiliser contraposer)

3- soit f et g deux fonctions definient sur [0 1] vers [0 1] et continue sur [0 1]

tell que: fog=gof

a- mq si a est solution de l'equation f(x)=x alors g(a) l'est aussi

b- montre qu'il est existe alpha de [0 1] tel que : f(alpha)= g(alpha)
je l'ai demontrer en utilisant les suite et l'absurde je voudrais bien voir une autre solution surtout de cette question vue que c'est elle qui rends l'exo agreable

soit f(x)-x=h(x) h continue sur [0.1] et on a
h(0)>=0 et h(1)=f(1)-1<=0 donc h(0)h(1)<=0 d'ou .......
2-on doit demontrer l'implication
v sannule pas ==>(pour tout x de I) v(x)<0 ou(pr tt x de I) v(x)>0
absurde: v ne s'annule pas et ((E x de I) v(x)>=0) et ((Ex de I)v(x)<=0)
<=>v ne s'annule pas et ((E x=a de I) v(a)>=0) et ((Ex=b de I)v(b)<=0)
v continue en I specialement sur [a.b] ou [b.a] (si b<a)
donc selon TVI
E c de [a.b]([b.a]) v(c)=0 et v ne s'annule pas
ce qui est absurde donc...

on a a solution de f(x)=x =>f(a)=a
selon les donnees fog(a)=gof(a)==>fog(a)=g(a)=>f(g(a))=g(a) d'ou g(a) solution de l'equation f(x)=x si a en est une

qq x appart à [0 1] f(p)=<f(x)=<f(q) => f(p)=<fog(x)=<f(q)
on a fog=gof
donc f(p)=<gof(x)=<f(q)
on a qq x appart à [0 1] g(p')=<g(x)=<g(q')
donc f(p)=<g(p') et f(q)=<g(q')
qq x appart à [0 1] g(p')=<g(x)=<g(q') =>g(p')=<gof(x)=<g(q')
on a fog=gof
donc g(p')=<fog(x)=<g(q')
on a qq x appart à [0 1] f(p)=<f(x)=<f(q)
donc f(p)=>g(p') et f(q)=>g(q')
on conclut que f(p)=g(p') et f(q)=g(q')
on pose h(x)=g(x)-f(x)
h(p)=g(p)-f(p)=g(p)-g(p')>=0
h(q)=g(q)-f(q)=g(q)-g(q')=<0
on use donc tvi