problème N°39 de la semaine (24/07/2006-30/07/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

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Merci

encore

Bonjour;
Solution postée
voici la solution d'elhor_abdelali

Bonjour;
(*) Je suppose qu'il s'agit de l'intégrale entre 0 et Pi de la fonction x ----> xsin(x)/(1+cos²(x))
Par le biais du changement de variable x -----> Pi -x on a ,
I = - Pi [arctan(cos(x)](entre 0 et Pi) - I
d'où , I = Pi ² / 4
(sauf erreur bien entendu)

Bonjour
Solution postée
voici la solution de Yalcin



Yalcin

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour
I=\int_{0}^{pi} x(-Arctan(cos(x)))'dx
I= [-x Arctan(cos(x))]_{0}^{pi} + \int_{0}^{pi} Arctan(cos(x))dx (I.P.P)
I= pi²/4-\int_{-pi/2}^{pi/2}Arctan(sin(t))dt (Cht. var. t=x-pi/2)
I= pi²/4 ( car t--> Arctan(sin(t)) impaire)
A+

Bonjour,

Solution postée .
voici la solution de bouchra
Bonjour, voici ma solution :

On note int(f(x)dx,a,b) l'intégrale de f entre a et b.

1ère méthode :
on a :
Si f est continue sur [a,b] et vérifie : f(a+b-x)=f(x) pour tout x de [a,b],
alors int(x*f(x)dx,a,b) = [(a+b)/2] * int(f(x)dx,a,b)
démonstration:
I = int(x*f(x)dx,a,b)
on pose t=a+b-x donc dx = -dt
I =- int((a+b-t)*f(t)dt,b,a) = int((a+b)*f(t)dt,a,b) - int(f(t)dt,a,b)
d'où :
2I = (a+b)* int(f(x)dx,a,b) , d'où le résultat.

Application : A = int([x*sin(x)/(1+cos^2(x))] dx ,0,pi)

A=(pi/2) * int([sin(x)/(1+cos^2(x))]dx,0,pi)
en posant u=cos(x), et par conséquent du = -sin(x) dx, on obtient :
A = (pi/2)*int([-u/(1+u^2)]du,1,-1) = (pî/2) * [arctan(1)-arctan(-1)]
A = (pi/2)*(pi/2)
A = pi^2/4

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2ème méthode:
Comme en général dans ce type d'intégrale, on utilise l'IPP, et comme
int(sin(x) dx /(1+cos^2(x))) = - arctan(cos(x)), on a :

A = [x*(-arctan(cos(x)))] à prendre entre 0 et pi - int(-
arctan(cos(x))dx,0,pi)
A = pi^2/4 + 0 car arctan(cos(pi-x)) = - arctan(cos(x))
A = pi^2/4

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Bouchra

Bonsoir
"solution postée"
voici la solution bel_jad5
voila ma solution :
on fait un changement de variable X=sin(x-pi/2)
dX=sin(x)dx d ou I = int( (arcsin(X)+pi/2)dX/(1+X²),X=-1..1) =pi/2 *int(dX/1+X² X=-1 ,1 ) =(pi/2)² ( le terme contenant arcsin disprait car la fonction est impair )
conclusion I=(pi/2)²