demonstration arctan

bsr
c lexercice 36 de la page 129 dal moufid
soit f(x) = arctan((racine(1+x²))-x)
montrez que f(x) = pi/4 - 1/2 arctanx
(on peut poser : x = tan a
tel que : (-pi/2<a<pi/2)

merci davance ^^

jattends ke kelkun de vous m'aide ^^

salut est ce qu'on doit utiliser : x = tan a ??

une petite question svp
tan(1/2arctanx) egale koi?

ouéé c ce kon a demandé dans l'exo..
justement jai pas su comment resoudre cet exo en posant x = tan a, mé sinn il existe dautres méthodes..

wé ji la meme queste que ?
je nai poas utilisé la methode que tu a demendé mais je vais essayer avec

on peut pas la simplifier ! mais si tu veux simplifier frappe par 2 ca te donnera : 2f(x) = pi/2- arctanx et la tan(2f(x))=1/tan(arctanx) et pui 2tanf(x)/1-tanf(x)²=1/tan(arctanx)<=>1/x=2((racine(1+x²))-x)/1-((racine(1+x²))-x)²
....
...
..
tu trouve 0=0 tu conclus que liftirad sa7i7
ps noublie pas de dire f(x)£]-pi/2,pi/2[

en posant x=tan a
on calcule tan 2f( x ) après simplification on trouve k'elle est égale à 1/tan a

de meme on calcule tan 2g ( x ) en mettant g( x )= Pi/4 - 1/2 arctanx , on trouve tan 2g ( x) = 1/tan a

alors 2f( x )=2g( x) +k.Pi puisk -Pi<2f( x) <Pi et 0<2g( x ) <Pi alors k=0
<=> f( x) =g( x )

on pose t =tanx / t appartient a ]-pi/2,pi/2[
u(x) = arctanx +2 arctan (V 1+x² -x)
= t + 2 arctan ( 1- sint)/cos t
= t + 2 arctan (1- cos ( pi/2 -t))/ sin (pi/2 -t)
= t + 2 arctan (2 sin²( pi/4 - t))/(2 sin(pi/4 - t/2)cos(pi/4-t/2))
= t + 2 arctan (tan(pi/4-t/2))
= t + pi/2 -t = pi/2