Exercice

Déterminer tt les fonctions continues sur R tels que:

imane20 a écrit:

Déterminer tt les fonctions continues sur R tels que:

BJR imane20 !!
Ta deuxième condition sur f est facile à gérer , elle montre en fait que f doit être AFFINE de la forme
f(x)=a.x+b
avec a , b constantes réelles
On doit même avoir b=0
pour que f(x+y)=ax+ay+b=f(x)+f(y)=ax+ay+2b
d'ou 2b=b et de là b=0 .
La première condition permettra de calculer a en remplaçant !!
f(2009)=a.2009=2009^2008
donc a=2009^2007.

Merci infiniment Mr LHASSANE pr votre aide;; et je vx savoir cmnt vs avez trouvé que f(x)=ax+b dè le depart?

imane20 a écrit:

Merci infiniment Mr LHASSANE pr votre aide;; et je vx savoir cmnt vs avez trouvé que f(x)=ax+b dè le depart?

BJR à Toutes et Tous !!
BJR imane20 !!
Ce n'est pas INSTINCTIF mais découle d'un raisonnement .....
Ta condition (2) va te permettre de montrer :
a) Que pour tout n entier naturel f(n)=n.f(1) par récurrence
b) Que pour tout n entier naturel et x dans IR f(n.x)=n.f(x) toujours par récurrence sur n
c) Que f(0)=0 en faisant x=y=0
d) Que f(-n)=-f(n) faire x=-n et y=n
En conclusion : pour tout n dans Z , on a f(n)=n.f(1)
Puis :
En écrivant p=q(p/q) lorsque p et q sont des entiers avec q<>0
f(p)=f(q.(p/q))=q.f(p/q)=p.f(1) d'ou f(p/q)=(p/q).f(1) { tu prendras x=p/q) et n=q dans b) }
Ainsi f(r)=r.f(1) si r est dans Q
Grace à la CONTINUITE de f et à la DENSITE de Q dans IR alors , tu peux conclure que :
f(x)=x.f(1) pour tout x dans IR , il suffira de poser f(1)=a .

ok Merci Mr LHASSANE pour votre aide detaillé;;