sev séparant les points

Soit E un C-ev de dimension finie n>0. Soit V un sev de E*, le dual de E, tel que pour tout x non nul de E il existe forme linéaire f dans V telle que f(x) soit non nul ( on dit que V sépare les points de E ).
Montrer que V=E*

Si f une forme linéaire non nul de E alors dim(Kerf)=n-1 ( Hyperplan ). Montrer que si {f1,...,fp} est un système libre de formes linéairesde E , alors dim(Ker(f1)n...nKer(fp)) = n-p. Conclure.

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit E un C-ev de dimension finie n>0. Soit V un sev de E*, le dual de E, tel que pour tout x non nul de E il existe forme linéaire f dans V telle que f(x) soit non nul ( on dit que V sépare les points de E ).
Montrer que V=E*

Intéressant.

Mais attends, n'est-ce pas plutôt évident?
Si on considère le dual V* de V alors on sait que pour tout vecteur x il y a un vecteur dans V* qui n'est pas orthogonal à x.
Mais pour tout sous-espace U d'un e.v. de dimension finie V tel que U \neq V, il existe un vecteur dans V qui est orthogonal à tous les vecteurs de U.
On n'a pas besoin de dualiser ici en fait.
C'est simplement le fait qu'un système homogène de moins de n équations à n variables a toujours une solution.

Pour répondre à la question, il suffit de montrer ceci :

abdelbaki.attioui a écrit:

Si f une forme linéaire non nul de E alors dim(Kerf)=n-1 ( Hyperplan ). Montrer que si {f1,...,fp} est un système libre de formes linéairesde E , alors dim(Ker(f1)n...nKer(fp)) = n-p. Conclure.

Oui.

Solution:
Soit {f1,...,fp} une base de V.
Soit x dans Ker(f1)n...nKer(fp). si x non nul, par hypothèse il existe f dans V tel que f(x) non nul. Mais f est dans Vect(f1,...,fp) et fi(x)=0 pour tout i, impossible. Donc Ker(f1)n...nKer(fp)={0} ==> n=p. D'aprés la proposition.