Ex de continuité :D de l'aide !

soit f une fonction continue sur R tel que kk soit x de R: f(x)≠x
montrer que l'équation fof(x)=x n'admet pas de solution dans R.

indice: raisonnement par l'absurde
comprendre que le but de l'exercice est de démontrer que fof(x)#x

HINDOU

hhh t'es serieuse "hindou"? je sais bien que c'est ac l'absurde qu'on fait l'exo mais je suis coincé regarde ce que j'ai fait:
supposons que cette equation admet une solution dans R : on considère la fonction g définie ainsi sur R
g(x)=fof(x)-x pour g est continue sur R je dois trouver ce "g(a).g(b)<0" tu me comprends maintenant?

t'es sérieu tarask utiliser le théorème des valeurs intermédiaires dans cet exo, alors que t'as meme pas des valeurs finies !!!^^

fof(x)=x <==>f(f(x))=x ce qui est impossible vu que f(x)#x KK x£R et comme f est continue sur R donc f(x)£R

Hindou

tarask a écrit:

hhh t'es serieuse "hindou"? je sais bien que c'est ac l'absurde qu'on fait l'exo mais je suis coincé regarde ce que j'ai fait:
supposons que cette equation admet une solution dans R : on considère la fonction g définie ainsi sur R
g(x)=fof(x)-x pour g est continue sur R je dois trouver ce "g(a).g(b)<0" tu me comprends maintenant?

BJR à Vous !!
Si vous le permettez , je vais intervenir seulement pour vous apporter des idées ......
Tout d'abord , essayer de montrer que f est forcément une BIJECTION de IR dans lui-même puisque fof=Id .
Et l'on a f^(-1)=f

En considérant la fonction h :
x -------------> h(x)=f(x)-x de IR dans IR
Montrer en utilisant le TVI que h garde un signe constant sur IR c'est à dire que l'on a l'une des deux choses suivantes :
Ou bien f(x)>x pour tout x dans IR ;
Ou bien f(x)<x pour tout x dans IR .

Sans doute , vous pouvez en déduire que f est strictement monotone ....

LHASSANE

Merci M.Bison-fûté c'est ça l'aide que je voulais merci infiniment ! et à toi aussi hindou (moi je ne suis qu'en première ) je crois que t'as fait une faute hindou parce qu'on a f(x)≠x et non po f(f(x))≠x

Bison_Fûté a écrit:

tarask a écrit:

hhh t'es serieuse "hindou"? je sais bien que c'est ac l'absurde qu'on fait l'exo mais je suis coincé regarde ce que j'ai fait:
supposons que cette equation admet une solution dans R : on considère la fonction g définie ainsi sur R
g(x)=fof(x)-x pour g est continue sur R je dois trouver ce "g(a).g(b)<0" tu me comprends maintenant?

BJR à Vous !!
Si vous le permettez , je vais intervenir seulement pour vous apporter des idées ......
Tout d'abord , essayer de montrer que f est forcément une BIJECTION de IR dans lui-même puisque fof=Id .
Et l'on a f^(-1)=f

En considérant la fonction h :
x -------------> h(x)=f(x)-x de IR dans IR
Montrer en utilisant le TVI que h garde un signe constant sur IR c'est à dire que l'on a l'une des deux choses suivantes :
Ou bien f(x)>x pour tout x dans IR ;
Ou bien f(x)<x pour tout x dans IR .

Sans doute , vous pouvez en déduire que f est strictement monotone ....

LHASSANE

mais on a déja ça puisque ce que tu essaye de démontrer c'est f(x)#x
ce qui veut dire que f est strictement monotone et donc fof strictement monotone =>fof(x)#x

mais mon raisonnement est juste aussi ^^

tarask a écrit:

Merci M.Bison-fûté c'est ça l'aide que je voulais merci infiniment ! et à toi aussi hindou (moi je ne suis qu'en première ) je crois que t'as fait une faute hindou parce qu'on a f(x)≠x et non po f(f(x))≠x

l'absurde

bn jvais etre plus clair: est ce que tu peux expliquer ça :

Citation :

fof(x)=x <==>f(f(x))=x ce qui est impossible vu que f(x)#x KK x£R et comme f est continue sur R donc f(x)£R

a vrai dire, utiliser la monotonie est la réponse la plus cohérente ^^
j'ai pas bien lu les données dzl

j'espère que t'es d'accord avec ma 2ème réponse ^^

on fait tous des erreurs d'inattention ne t'en fais pas ! Pour la 2eme reponse ça se complète avec ce qu'a dit M.Bison-fûté et je crois bien qu'elle est juste! Merci encore une fois !

Bison_Fûté a écrit:

Tout d'abord , essayer de montrer que f est forcément une BIJECTION de IR dans lui-même puisque fof=Id .

Supposez-vous que f(f(x))=x pour tout réel x ?

Dijkschneier a écrit:

Bison_Fûté a écrit:

Tout d'abord , essayer de montrer que f est forcément une BIJECTION de IR dans lui-même puisque fof=Id .

Supposez-vous que f(f(x))=x pour tout réel x ?

BSR Dijkschneier !!

Oh Mince Alors ! Je me suis complètemenet emballé ....
Je me suis trompé .... car une illusion d'optique m'a fait croire que fof=Id ce qui n'est pas envisagé !!
Excusez-Moi donc !!!
Mais l'Absurde devrait faire fonctionner la machine , de plus on a toujours h garde un signe constant sur IR .... par le TVI ....

Je suis très confus ..... et Merci encore d'avoir fait attention !!

LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

Mais l'Absurde devrait faire fonctionner la machine , de plus on a toujours h garde un signe constant sur IR .... par le TVI ....

Absolument.

Par ailleurs, cela semble évident, mais je vous prie, si vous le pouvez, de démontrer clairement la monotonie de la fonction f ?

BSR Dijkschneier !!

Je ne pense pas que f soit obligatoirement MONOTONE sur IR , on sait seulement que :
{ f(x)>x pour tout x dans IR }
OU ( exclusif )
{ f(x)<x pour tout x dans IR }

celà veut dire que Cf est d'un MEME COTE que la 1ère Bissectrice d'équation y=x .

Tu peux prendre par exemple :
f : x ----------> f(x)=x^2 + 1 de IR dans IR
Tu pourras vérifier que f(x)>x pour tout x dans IR mais que f n'est pas Monotone sur IR !!!
Par conséquent , la monotonie de f n'est pas garantie .....

LHASSANE

BSR à Toures et Tous !!

En fait , on n'a pas besoin de la monotonie de f et d'ailleurs elle n'est pas forcément réalisée !!

Après avoir lu mon Post au dessus ....

1) Si on a { f(u)>u pour tout u dans IR } alors on écrit cette inégalité pour u=x , puis pour u=f(x) , x réel arbitraire , pour obtenir
f(x)>x et f(f(x))>f(x)
Ainsi f(f(x))>x pour chaque x dans IR

2) Si par contre , on a { f(u)<u pour tout u dans IR }
alors le même raisonnement conduit à
f(f(x))<x pour chaque x dans IR .

Par conséquent , on aura TOUJOURS f(f(x)) <> x pour tout x dans IR et c'est celà qu'il fallait démontrer !!!

LHASSANE

C'est précisément la conclusion que j'envisageais. Bien.

bonsoir à vous ! Je viens de trouver une solution incontestable je dirai je vais vous donner un petit mais important signe:
considérez l'intervalle I dont les extremités sont a et f(a) (a est un nombre quelconque :p ) Bon je vais vous donner un jour pour réfléchir hhh après je posterai ma réponse complète !

salam : acceptez mon intervention ...

on sait que f-1 est l'image de f par symétrie de l'axe y=x ...

et puisque il n'existe pas un c sachant que c =f(c) et d'aprés la continuité de f ==> f(x) >x ou b1 f(x)<x pour tout x de IR.

donc d'apres la symetrie axiale dont on a parlée .. si f(x) >x alors
f-1(x) < x et le contraire est juste

==> f(x) # f-1(x) ==> fof(x) # x .

Salut c une exo classique que j resolu l'annee derniere en voici la solution :
qq soit x de R : f(x)#x => qq soit x de R : f0f(x)#x equivale
il existe a de R tel que : f0f(a)=a => il existe b de R tel que : f(b)=b

demontrons l'implication derniere
soit g la fonction : g(x)=f(x) - x
puis on applique la TVI sur l'intervale ayant les bornes a et f(a) et c fait
merci

oui c ça la solution envisagée ! bravo nononabil!