Rang d'une matrice

Bonsoir, veuillez m'aider pour résoudre ces deux exerices svp:

(*) si M est une matrice carrée d'ordre n, montrons que:

rg(M) = 1 <=> il existe L de M_{1,n}(IK) et C de M_{n,1}(IK) telles que M=CL

et que :
rg(M) = 2 <=> il existe L1,L2 de M_{1,n}(IK) et C1,C2 de M_{n,1}(IK) telles que : M=C1.L1 + C2.L2


(**)

1) Soit X une matrice colonne à coefficients réels. Montrons que X=0 <=> tX.X= 0
2) Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels,Montrons que Sh(A) = Sh(tA.A)
3) En déduire que rg(A) = rg(A.tA)=rg(tA.A)


avec tX c'est la matrice transposée de X

(*) rg(M)=1 <==> dim Vect(C1,...,Cn)=1 où les Ci sont les colonnes de M
<==> Quitte à faire une permutation on peut supposer que pour tout i>1 , Ci=µiC1

<==> M=CL avec C=C1 et L=(1 µ2 ... µn)



rg(M)=2 <==> dim Vect(C1,...,Cn)=2 où les Ci sont les colonnes de M
<==> Quitte à faire une permutation on peut supposer que pour tout i>2 , Ci=aiC1+biC2

<==> M=C1.L1+C2.L2 avec L1=(1 0 a2 ... an) et L2=(0 1 b2 ... bn)


(**)
1) X=colonne(x1,...,xn) ==> tX.X=x1²+...+xn²
Donc tXX=0 <==> xi=0 qqs i ( car les xi sont réels) <==> X=0

2) AX=0 <==> t(AX)(AX)=0 <==> tXtAAX=0 <==> (tAA).X=0

3) Le thérème du rang ==> rg(A)=rg(tA.A)=rg(AtA)