monde des inégalités

aymanemaysae a écrit:

Pour le problème de M. Ahmed TAHA du 9 Janvier 2014, j'ai trouvé une solution dans laquelle on n'utilise que les IAG.

Soient a,b et c des réels positifs tel que a+b+c=1.  Montrer que  ab/(1-c^2 )+bc/(1-a^2 )+ca/(1-b^2 )≤  3/8   .

On a  ab/(1-c^2 )=  ab/(〖(a+b+c)〗^2-c^2 )=ab/(a^2+b^2+2ab+2bc+2ca)   .

On a aussi a^2+b^2+2ab+2bc+2ca≥8〖(a^6 b^6 c^4)〗^(1/=8a^(3/4) b^(3/4) c^(1/2)   ∶IAG .
↔1/(8a^(3/4) b^(3/4) c^(1/2) )≥1/(a^2+b^2+2ab+2bc+2ca)  ↔(a^(1/4) b^(1/4))/(8c^(1/2) )≥ab/(a^2+b^2+2ab+2bc+2ca)

donc   ab/(1-c^2 )≤(a^(1/4) b^(1/4))/(8c^(1/2) )   ,de même on a  bc/(1-a^2 )≤(b^(1/4) c^(1/4))/(8a^(1/2) )  et ca/(1-b^2 )≤(c^(1/4) a^(1/4))/(8b^(1/2) )  ,

donc  ab/(1-c^2 )+bc/(1-a^2 )+ca/(1-b^2 )≤1/8 ((a^(1/4) b^(1/4))/(8c^(1/2) )+(b^(1/4) c^(1/4))/(8a^(1/2) )+(c^(1/4) a^(1/4))/(8b^(1/2) ))  ≤1/8*3〖((a^(1/4) b^(1/4))/(8c^(1/2) )*(b^(1/4) c^(1/4))/(8a^(1/2) )*(c^(1/4) a^(1/4))/(8b^(1/2) ))〗^(1/3)=3/8 ∶IAG ,

donc  ab/(1-c^2 )+bc/(1-a^2 )+ca/(1-b^2 )≤  3/8   .

Bonsoir Aymanemaysae,
(a b)^(1/4)/sqrt(c)+(c b)^(1/4)/sqrt(a)+(a c)^(1/4)/sqrt(b) ≥ 3 malheureusement

Bon, je change de problème pour ne pas laisser le marathon ainsi:
En voici un facile :

Problème alternatif :

Tout d'abord, On a: |x|+|y|>|x+y| pour tous x;y de R², donc |x|+|1-x|>1 pour tout x.
On a par caushy schwarz:

Soit a,b et c des réels positifs. Prouvez que:

Soit a,b et c des réels positifs tel que : ab+ab+bc+2abc=1

Montrer que :

Il suffit de poser Cyc(a=x/(y+z) ) . et puis on remplace : Il s'agit de prouver que :

/Sum(x/(y+z)) >= /Sum( (y+z)/(y+z+2x) ) . puisque l'inégalité est homogène on peut supposer x+y+z=1. donc :
<=> /sum( x/(1-x) ) >= / Sum( (1-x)/(1+x) )
<=> /Sum( (3x-1)/(1-x²) ) >=0.
et c'est une conséquence de Jensen car la fonction f(x)=(3x-1)/(1-x²) est convexe sur [0,1] .
CQFD

La" fameuse "substitution fait l'affaire.

Suite à la remarque de M. Humber, que je remercie amplement, remarque du 29 Janvier 2014 à ma propos de ma proposition pour la résolution du problème de M. Ahmed TAHA du 9 Janvier 2014, je tiens à préciser que la méthode reste valable, malgré une erreur de frappe que j'ai commise: quand j'ai mis le (1/huit) en facteur dans le RHS de l'inéquation, j'ai laissé traîner le (huit) au dénominateur.
En demandant votre pardon pour cette inadvertance, je corrige le dernier paragraphe de ma solution:

donc  ab/(1-c^2 )+bc/(1-a^2 )+ca/(1-b^2 )≤1/8 ((a^(1/4) b^(1/4))/(c^(1/2) )+(b^(1/4) c^(1/4))/(a^(1/2) )+(c^(1/4) a^(1/4))/(b^(1/2) ))  ≤1/8*3〖((a^(1/4) b^(1/4))/(c^(1/2) )*(b^(1/4) c^(1/4))/(a^(1/2) )*(c^(1/4) a^(1/4))/(b^(1/2) ))〗^(1/3)=3/8 ∶IAG ,

donc  ab/(1-c^2 )+bc/(1-a^2 )+ca/(1-b^2 )≤  3/8   .

Soit a,b et c des réels positifs tel que : ab+bc+ca+2abc=1

Montrer que :


Je me suis permis de rectifier l'énoncé du sujet: j'ai mis ab+bc+ca+2abc=1 à la place de ab+ab+bc+2abc=1. J'ai présumé que ce n'était qu'une faute de frappe.

On a 1/(1+2a) + 1/(1+2b) + 1/(1+2c)
= (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3)/(2(a+b+c)+4(ab+bc+ca+2abc)+1)
= (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3)/(2(a+b+c)+5) : car ab+bc+ca+2abc=1,

donc 1/(1+2a) + 1/(1+2b) + 1/(1+2c) < a+b+c
<--> (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3)/(2(a+b+c)+5) < a+b+c
<--> (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3) < 2(a+b+c)^2 + 5(a+b+c)
<--> 4(ab+bc+ca) < 2(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca)+(a+b+c)
<--> 0 < 2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c) : expression logiquement vraie car a,b et c sont des réels positifs, donc


est aussi vraie sous les conditions du problème.

Je me permets aussi de me demander si le changement de variables opéré dans l'autre solution proposée, vérifie la condition ab+bc+ca+2abc=1.

aymanemaysae a écrit:

Soit a,b et c des réels positifs tel que : ab+bc+ca+2abc=1

Montrer que :


Je me suis permis de rectifier l'énoncé du sujet: j'ai mis ab+bc+ca+2abc=1 à la place de ab+ab+bc+2abc=1. J'ai présumé que ce n'était qu'une faute de frappe.

On a 1/(1+2a) + 1/(1+2b) + 1/(1+2c)
= (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3)/(2(a+b+c)+4(ab+bc+ca+2abc)+1)
= (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3)/(2(a+b+c)+5) : car ab+bc+ca+2abc=1,

donc 1/(1+2a) + 1/(1+2b) + 1/(1+2c) < a+b+c
<--> (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3)/(2(a+b+c)+5) < a+b+c
<--> (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3) < 2(a+b+c)^2 + 5(a+b+c)
<-->4(ab+bc+ca) < 2(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca)+(a+b+c)
<--> 0 < 2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c) : expression logiquement vraie car a,b et c sont des réels positifs, donc


est aussi vraie sous les conditions du problème.

Je me permets aussi de me demander si le changement de variables opéré dans l'autre solution proposée, vérifie la condition ab+bc+ca+2abc=1.

non c faut mr aymanemaysae car on a le cas d'égalité si a=b=c=1/2
l'inégalité équivalente a : 2(x+y+z)^2+(x+y+z) > 3+4(xy+xz+yz)

voici une autre
Soit x,y et z des réels positifs tel que : x+y+z=3

Montrer que : 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>10xyz

et que : 9(xy+xz+yz)+4xyz(xy+xz+yz)>4(xy+xz+yz)²+3xyz

Merci M. Ahmed TAHA pour la remarque: j'ai oublié de prendre en compte le (3) dans mon passage de la ligne : <--> (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3) < 2(a+b+c)^2 + 5(a+b+c)
à la ligne : <--> 4(ab+bc+ca) < 2(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca)+(a+b+c)
ce qui a fait chavirer mon bâteau et jeter ma démonstration à l'eau.
Je vous suis très reconnaissant.

Soit x,y et z des réels positifs tel que : x+y+z=3

Montrer que : (E) 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>10xyz

(E) (x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z)(xy+yz+yz) + (xy+yz+yz) > 10
10(xy+yz+yz) > 10 ==> (xy+yz+xz) > 1 ce qui doit etre correct

aymanemaysae a écrit:

Merci M. Ahmed TAHA pour la remarque: j'ai oublié de prendre en compte le (3) dans mon passage de la ligne :       <--> (4(a+b+c)+4(ab+bc+ca)+3) < 2(a+b+c)^2 + 5(a+b+c)
à la ligne : <--> 4(ab+bc+ca) < 2(a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ca)+(a+b+c)
ce qui a fait chavirer mon bâteau et jeter ma démonstration à l'eau.
Je vous suis très reconnaissant.

ahlan mr aymanemaysae kan 3lik tkemel lborhan o ghatl9a blli dik l'inégalité sahla
voir ce lien http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=573326&p=3375908#p3375908 j'ai déja fait la même démonstration

Nas8 a écrit:

Soit x,y et z des réels positifs tel que : x+y+z=3

Montrer que : (E) 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>10xyz

(E) (x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z)(xy+yz+yz) + (xy+yz+yz) > 10
10(xy+yz+yz) > 10 ==> (xy+yz+xz) > 1  ce qui doit etre correct

pourquoi (xy+yz+xz) > 1 (prend x=3 et y=z=0)

Que pouvons-nous dire dans ce cas que : xy+yz+yz n'admet pas un min et le max=3 c tt

Paour la survie du sujet ; j'ajoute une autre assez facile..
a et b deux reels tels que a+b=1
montrez que 1/a^2+1/b^2>=8.
Bonne chance.

Unevautre solus plus elegante a mon gout
Selon holder (a+b)(a+b)(1/a^2+1/b^2)>=(1+1)^3
Donc 1/a^2+1/b^2>=8
Amicalement.

Ahmad Taha , l'inegalité devient fausse 0 > 0 ...

Nas8 a écrit:

Ahmad Taha , l'inegalité devient  fausse 0 > 0 ...

voici l'exo

Ahmed Taha a écrit:

voici une autre
Soit x,y et z des réels positifs tel que : x+y+z=3

Montrer que : 3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz)>10xyz

et que : 9(xy+xz+yz)+4xyz(xy+xz+yz)>4(xy+xz+yz)²+3xyz

on a le cas d'égalité (n'est pas strict).

ah oui merci .
Si on utilise l'inégalité du reordonnement
3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) > (xy+xz+yz)^3 + 3xyz > 10 xyz ?

Nas8 a écrit:

ah oui merci .
Si on utilise l'inégalité du reordonnement
3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) > (xy+xz+yz)^3 + 3xyz > 10 xyz ?

pour la première inégalité  3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) > (xy+xz+yz)^3 + 3xyz c vrai
mai pour la deuxième (xy+xz+yz)^3 + 3xyz > 10 xyz je ne pense pas

cette inégalité est aussi vrai !!!
3(xy+xz+yz)²+xyz(xy+xz+yz) > 30xyz dans le cas (a+b+c=3)