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 Problème aout 2014

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Problème aout 2014   Jeu 31 Juil 2014, 19:06

Soit f une fonction uniformément continue sur [0; 1[. Montrer que f est bornée sur [0; 1[ et que f admet une limite en 1.

_________________
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galillee56
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MessageSujet: Re: Problème aout 2014   Mer 06 Aoû 2014, 16:21

Lemme il existe A et B tq |f(x)|<=Ax+B on a pour tout e il existe c tq pour tt x,y si |x-y|<=c alors |f(x)-f(y)|<=e on choisit e=1 soit x dans [0,1[ x=nc+r , r<c n dans N donc on a |f((k+1)c)-f(kc)|<=1 donc on sommant pour k=0...n-1 on |f(nc)-f(0)|<=n et |f(x)-f(nc)|<=1 donc |f(x)-f(0)|<=n+1 n=E(x/c) (E designe la fonction partie entiere) donc on appliquon l inegalite triangulaire inverse on a le resultat donc f est borne suppsons que f n'admet pas de limite en 1 vu que f est borne donc il existe e tq que pour tt c il existe x et y dans l'intervalle [1-c,1[ tq |f(x)-f(y)|>e ce qui contredit l uniforme continuite
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Problème aout 2014
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