slovenia 2005

touver tous les applications f N--> N:
f(f(m))=m+1.

Evidemment, f injective de N dans N . Si m>0, f(f(m-1))=m ==> f est une bijection de N sur N* soit g sa réciproque.
On a f(m)=g(m+1) ...

Bonjour,

Il n'y a pas de telle fonction.
En effet :

f(f(f(n))) = f( f(f((n)) ) = f(n+1)
f(f(f(n))) = f(f( f(n) )) = f(n) + 1
Donc f(n+1) = f(n) + 1 et par récurrence f(n) = n + f(0)
Mais alors f(f(n)) = f(n) + f(0) = n + 2f(0)
Mais comme f(f(n)) = n+1, f(0) ne peut valoir que 1/2, qui n'est pas dans N
D'où l'impossibilité

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Patrick

je ne sais pas pourqoui ont pose cette problem dans l annee 2005.
il peuve remplacer 1 par 2005. et le resulta ne va pas changer.
en effet on peux montrer ce resulta pour tout nombre impaire
pour pco je ne vois l absurdite.

bonjour,

azbi a écrit:

pour pco je ne vois l absurdite.

Je montre que f(0) = 1/2.
Or, la fonction demandée est de N dans N.
Donc f(0) ne peut valoir 1/2 (puisque pas dans N)

Il n'existe donc pas de fonctions de N dans N qui vérifie,t cette équation fonctionnelle (il en existe bien sûr, une infinité de R dans R, comme par exemple x+1/2)

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Patrick

tu es sur des deux premiers relations qu ils sont justes

Bonjour,

azbi a écrit:

tu es sur des deux premiers relations qu ils sont justes

Oui, bien sûr.
Je reprends, en détaillant :

Hypothèse : f est une fonction de N dans N telle que, pour tout n de N, on a P1(n) : f(f(n)) = n+1.

1) P1(f(n)) ==> P2(n) : f(f(f(n))) = f(n) + 1

2) Mais, si f(f(n)) = n + 1, en prenant f de chaque côté, on a P3(n) : f(f(f(n))) = f(n+1)

3) en comparant P2(n) et P3(n), il vient P4(n) : f(n+1) = f(n) + 1 pour tout n de N

4) En appliquant la récurrence sur P4(n), il vient bien sûr P5(n): f(n) = n + f(0) pour tout n de N

5) P5(f(n)) ==> f(f(n)) = f(n) + f(0). En comparant avec P5(n), on a enfin P6(n) : f(f(n)) = n + 2f(0)

6) enfin, en comparant P1(n) et P6(n), on a f(0) = 1/2 et donc f(n) = n + 1/2, qui n'est pas une fonction de N dans N,

Ce qui montre bien qu'il n'y a pas de solution au problème posé.

Est-ce plus clair ?

--
Patrick

i'm sorry