un compact de R

Soit (a_n) une série de réels absolument convergente.
Montrer que { (somme sur i de I) a_i / I c IN } est un compact de IR.

Bonjour Abdelbaki ;
Une idée :
Notons E l'ensemble { (somme sur i de I) a_i / I c IN }
et F={ (Somme sur j de J) a_j / J partie finie de IN }.
Alors E est borné (| (Somme sur J c IN) a_j | =< (Somme sur IN) |a_j| < +oo )
et E n'est autre que la fermeture de F. (sauf erreur)

Oui. C'est la définition d'une famille sommable

Merci pour l'exercice Abdelbaki

Question subsidiaire : cet ensemble est-il connexe?

Non en général. Prendre une suite (a_n) nulle à partir d'un certain rang

En effet.