Groupes nZ et Z/nZ

1- Montrer que les seules sous groupes de Z sont les nZ avec n un entier.

2-Montrer que <p>=Z/nZ si et ssi p^n=1

nobody cares

3-

Montrer que tout sous groupe additif de R est discret ou partout dense

Mahdi a écrit:

3-

Montrer que tout sous groupe additif de R est discret ou de la forme nZ

RECTIFICATIF Mahdi !!
Tout sous-groupe additif de IR est :
soit discret de la forme aZ avec a réel a>0 ;
soit partout dense ( par exemple Q ) .
A+ LHASSANE

Mahdi a écrit:

1- Montrer que les seules sous groupes de Z sont les nZ avec n un entier.
2-Montrer que <p>=Z/nZ si et ssi p^n=1

BJR Mahdi !!!!
Si H est un sous-groupe de Z pour l'addition alors ce sera aussi un sous-groupe additif de IR , or dans IR les sous groupes sont
soit partout denses
soit discret de la forme aZ avec a dans IR a>0
La 1ère éventualité étant exclue car entrainerait que Z est dense dans IR , ce qui est naturellement FAUX , il reste le cas discret à explorer :
H discret et H inclus dans Z alors forcément a est dans IN ( a=a.1 ) .

Pour l'autre problème : p étant un entier compris entre 1 et (n-1) , si la classe de p engendre Z/nZ alors Classe(1) serait égal à k.{Classe(p)}=Classe(k.p) donc :
1=k.p + r.n ce qui , selon BEZOUT réciproque , implique que p^n=1
La réciproque est autant facile .....

A+ LHASSANE

Oui c'est ca

Pour le premier, pas besoin d'utiliser un théorème plus global, il suffit (pour un sg G de Z non vide...) de considérer le plus petit entier strictement positif contenu dans G et de conclure gràce à la division euclidienne.

Mahdi a écrit:

nobody cares

Non c'est intéressant ! Mais ça se trouve dans tous les bouquins d'algèbre ...

je pense que ca doit etre fait dans le cours !!!!

Sinchy a écrit:

je pense que ca doit etre fait dans le cours !!!!

wii c'est du cours