test n°1 stage du rabat (25-29 /01/2008) (olympiade 2008)

exo1
cet exo est presque trivial , si ABC est un triangle rectangle ( supposons qu'en A) alors sin²A=1 ( car A= pi/2), et puisque B+C= pi/2 ==> sin²B+sin²C= cos²C+sin²C= 1 , d'ou le résultat
exo2:
je propose comme valeur max : 1/4
ona : max(-2xyz)= 0 , et 0 est atteint si seulement si x ou y ou z=0
supposons alors que c'est x
ona : max( xy+yz+xz)= max( yz)= max( (y+z)²/4) = 1/4 d'ou le résultat,
exo3: ( un très joli exo qui m'a plus , mais je vois que le fait que (x,y,z,t) £ ( 1/2, +OO) est une condition pas nécessaire)
ona : abcd < (a+b+c+d)^4/256 ( IAG), et abcd> a²+b²+c²+d²>(a+b+c+d)²/4 ( cauchy-shwarz),
alors : (a+b+c+d)^4/256 > (a+b+c+d)²/4
<=> (a+b+c+d)²>68, ==> a+b+c+d>8
donc abcd> (a+b+c+d)²/4 = (a+b+c+d)/4 * (a+b+c+d) > 2(a+b+c+d)=a+b+c+d+a+b+c+d > a+b+c+d+8 C.Q.F.D
(sauf ereur de ma part)
A+

pour l'exo 1 tu dois faire neutrino l'autre implication

pour le 2éme exo , on a : p=<1

et sachant que selon Shurr q =< (p^3+9r)/4p

donc : q-2r =< (p^3 - 8pr + 9r)/4p = f(p)

et on a : f'(p) = (8p^3-36r)/4p² >= 0 car p^3 >= 27r

alors
q-2r=< f(p) =< f(1) = (r+1)/4 =<((p^3/27)+1)/4 =< (1/27+1)/4 = 7/27

on a : ABC rectangle => sin²a + sin²b + sin²c = 2 trivial

mnt supposon que sin²a + sin²b + sin²c = 2
alors 1-2sin²a + 1-2sin²b + 1-2sin²c = -1
donc cos 2b + cos 2c + cos 2a = -1 (A)

or cos2b + cos2c + cos2a = 2cos(b+c)*cos(b-c) + cos2a
= -2cos(a)*cos(b-c) + 2cos²(a) - 1
= -2cos(a)(cos(b-c)+cos(b+c)) - 1
= -4 cos(a) cos(b) cos(c) - 1 (B)

de A et B on déduit que cos(a) cos(b) cos(c) = 0 d'ou le résultat

Conan a écrit:

pour l'exo 1 tu dois faire neutrino l'autre implication

pour le 2éme exo , on a : p=<1

et sachant que selon Shurr q =< (p^3+9r)/4p

donc : q-2r =< (p^3 - 8pr + 9r)/4p = f(p)

et on a : f'(p) = (8p^3-36r)/4p² >= 0 car p^3 >= 27r

alors
q-2r=< f(p) =< f(1) = (5r+1)/4 =<(5(p^3/27)+1)/4 =< (5/27+1)/4 = 8/27

c faux

neutrino a écrit:

exo1
cet exo est presque trivial , si ABC est un triangle rectangle ( supposons qu'en A) alors sin²A=1 ( car A= pi/2), et puisque B+C= pi/2 ==> sin²B+sin²C= cos²C+sin²C= 1 , d'ou le résultat
exo2:
je propose comme valeur max : 1/4
ona : max(-2xyz)= 0 , et 0 est atteint si seulement si x ou y ou z=0
supposons alors que c'est x
ona : max( xy+yz+xz)= max( yz)= max( (y+z)²/4) = 1/4 d'ou le résultat,
exo3: ( un très joli exo qui m'a plus , mais je vois que le fait que (x,y,z,t) £ ( 1/2, +OO) est une condition pas nécessaire)
ona : abcd < (a+b+c+d)^4/256 ( IAG), et abcd> a²+b²+c²+d²>(a+b+c+d)²/4 ( cauchy-shwarz),
alors : (a+b+c+d)^4/256 > (a+b+c+d)²/4
<=> (a+b+c+d)²>68, ==> a+b+c+d>8
donc abcd> (a+b+c+d)²/4 = (a+b+c+d)/4 * (a+b+c+d) > 2(a+b+c+d)=a+b+c+d+a+b+c+d > a+b+c+d+8 C.Q.F.D
(sauf ereur de ma part)
A+

c faux pour le 2 exo

regarde mieux Kalm c'etais simplement une faute de frappe

slt !!!!!!!!
pr l'ex 3 voici ce que g trouvé :
on pose a>=b>=c>=d, en applicant chebybev on trouve :
a²+b²+c²+d²>=(a+b+c+d)²/4>= 4V(abcd) "IAG"
et on a : 2V(abcd) >= 2V(a²+b²+c²+d²) >=a+b+c+d
et : 2V(abcd)>= 8
car : a²+b²+c²+d²>=4Vabcd "IAG"
<=> abcd>=4V(abcd) <=> V(abcd)>=4
donc : abcd>= a²+b²+c² >= 4V(abcd)>= a+b+c+d+8
@+
NB : je pense qu'il y a qlq chose qui cloche ds ma solution, sinon pk a,b,c,d £ (1/2,+oo)

EXERCICE 1 is very trivial since we have in any triangle:

Fourrier-D.Blaine a écrit:

EXERCICE 1 is very trivial since we have in any triangle:

c ce que j'ai démontré

Conan a écrit:

Fourrier-D.Blaine a écrit:

EXERCICE 1 is very trivial since we have in any triangle:

c ce que j'ai démontré

Ok conan mais la prochaine fois je te conseille d'utiliser ces deux liens, stp

http://www.gnux.be/pages/tex2im
https://mathsmaroc.jeun.fr/arithmetiques-f8/des-codes-latex-t536.htm

pour l'exo 2 , remarquons que min(x,y,z) <=1/2 notons x se min par exemple et posons t(x,y,z) =xy+yz+zx-2xyz alors par un calcul simple
t(x,y,z)=<t(x,(y+z)/2,(y+z)/2) =<t(x,(1-x)/2,(1-x)/2)=g(x)
par etude de cette derniere fonction sa grande valeur ds [0,1/2] vaut 7/27
et les inegalités devient des egalités donc t=7/27 et c pour x=y=z=1/3

pour le troisieme par l'absurde si abcd <= a+b+c+d alors par l'hypothese et cauchy shwartz on trouve que a+b+c+d<=4 ( une inequation de second degré dont l'inconnu est a+b+c+d) et donc abcd<=1
mais d'autre part abcd >a^2+b^2+....>=1/4+1/4+1/4+1/4=1 ce qui donne une contradiction .

EXERCICE 2:





Et P(z) a 7/27 comme max (a voir avec la dérivation)
et pour x=y=z=1/3 on a T=7/27
Proof complete.

apparemen tt le monde haie la geométrie

salut tout le monde,apparemment les Marocaines n'excelllent que dans les inégalités et ne s'interessent plus à la géométrie mèmes d'apres ce que j'ai pu constater,les exos de la géométrie dans tous les OM precedents sont à la porté et abordables par contre les inégalités parfois sont difficles et presques parfois inabordables mèmes.Alors juste une petite conseil(mèe si je suis pas à la hauteur de ce conseil) pour les futurs participants et les representans du Maroc,j'espere qu'il essaye de mieux travailler et bosser dans la géométrie car surment ilss vont gagner bcp de points.

c'est des olympiades pour quek niveau??

terminale

j'ai r1 pigé
lol c trop difficile et je suis encore nouvele au domaine!![img][/img]

et en fait j ' y est participé et j'ai résolu qlq trucs!!!hhhhh

mai j compren po commen vs avez fait pr lexo 3 vs ecrivez abcd> a²+b²+c²+d²>(a+b+c+d)²/4 plz repondez ^^ merci

Ce Olympiade de quel niveau?????????????

mathema a écrit:

Ce Olympiade de quel niveau?????????????

Désolé de revivre ce sujet mais j'ai essayé avec cette épreuve du stage et voici mes solutions aux problèmes .
Solution au problème 1:

Spoiler:

Solution au problème 2:

Spoiler:

Solution au problème 3:

Spoiler:

Solution au problème 4:

Spoiler:

Sauf erreur ..

pour le problème 3,pourriez vous me donner une idée sur l'utilité du a,b,c et d>1/2 ?!
et voici une autre solution:
on a : 4abcd>=4(a²+b²+c²+d²)>=(a+b+c+d)² (d'après cauchy schawrz)
donc il suffit de démontrer que:
(a+b+c+d)²>=4(a+b+c+d)-32
ce qui est évident car:
p²-4p+32 >=0 pour tout p de R vu que le dét. et inférieur à 0
donc: abcd>=a+b+c+d-8
CQFD