Polynômes : intéressant+utile...

Trouver tous les polynômes P qui vérifient la relation suivante :

pour tous a,b et c tels que :
a+b+c=0 on a :
(P(a))^3+(P(b))^3+(P(c))^3 = 3P(a)P(b)P(c)

sachant que x^3+y^3+z^3-xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
on deduit alors que :
1)P(a)+P(b)+P(c)=0
ou 2) P(a)=P(b)=P(c)
---
♣ a=b=c=0 ==> P(0)=0
♣tout dabord soit x de R x-x+0=0
alors P(x)+P(-x)=0 ==> P est impaire
1) ==> P(a)+P(b)=-P(-a-b)=P(a+b)
alors P est de forme Ax (P continue)
reciproquement x-->Ax verifie lenoncé.
dou P(x)=Ax
2) soit x de Rx-x+0=0
alors P(x)=P(-x)=P(0)=0
conclusion les seules fcts verifiants P sont x-->Ax (se)

selfrespect a écrit:

sachant que x^3+y^3+z^3-xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
on deduit alors que :
1)P(a)+P(b)+P(c)=0
ou 2) P(a)=P(b)=P(c)
---
♣ a=b=c=0 ==> P(0)=0
♣tout dabord soit x de R x-x+0=0
alors P(x)+P(-x)=0 ==> P est impaire
1) ==> P(a)+P(b)=-P(-a-b)=P(a+b)
alors P est de forme Ax (P continue)
reciproquement x-->Ax verifie lenoncé.
dou P(x)=Ax
2) soit x de Rx-x+0=0
alors P(x)=P(-x)=P(0)=0
conclusion les seules fcts verifiants P sont x-->Ax (se)

rien n'empêche d avoir 1) et 2) en même temps. il peut que pour certain (a,b,c) on a p(a)+p(b)+p(c) = 0 et pour (x,y,z) on a p(x)=p(y)=p(z)

bel_jad5 a écrit:

selfrespect a écrit:

sachant que x^3+y^3+z^3-xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
on deduit alors que :
1)P(a)+P(b)+P(c)=0
ou 2) P(a)=P(b)=P(c)
---
♣ a=b=c=0 ==> P(0)=0
♣tout dabord soit x de R x-x+0=0
alors P(x)+P(-x)=0 ==> P est impaire
1) ==> P(a)+P(b)=-P(-a-b)=P(a+b)
alors P est de forme Ax (P continue)
reciproquement x-->Ax verifie lenoncé.
dou P(x)=Ax
2) soit x de Rx-x+0=0
alors P(x)=P(-x)=P(0)=0
conclusion les seules fcts verifiants P sont x-->Ax (se)

rien n'empêche d avoir 1) et 2) en même temps. il peut que pour certain (a,b,c) on a p(a)+p(b)+p(c) = 0 et pour (x,y,z) on a p(x)=p(y)=p(z)

ah oui tu as raison dslé

la mm demarche de selfrespect
p(a)+p(b)+p(c)=0 on a x-2x+x=0 donc 2p(x)+p(-2x)=0 et -2x+2x+0 =0 donc p(2x)+p(-2x)=0 d'ou p(2x)=2p(x) et soit p(x) =a_nx^n+....a_0 xomparaisons les coeficients de p(2x)et 2p(x) derivons on trouve p(2x)'=p(x)' qui est le polynome constant .
x^3+y^3+z^3-xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]

vous avez pas le droit de dire que :
a+b+c=0 ->p(a)+p(b)+p(c) = 0 parce que ce n est pas vrai !
Pour le voir il suffit de prendre p(x) = 1 qui est bien solution du problème !

soit soit a=x-y b=y-z c=z-x pour tt x;y;z.
alors on a soit p(x-y)+p(y-z)+p(z-x)=0ou p(x-y)=p(y-z)=p(z-x) qui est valide pour tout reels x y et z.
sans le premier cas pour y=0 z=0 on truve
P(x)+P(-x)=0et pour z=0 on trouve P(x-y)+P(y)=-P(-x)=p(x)et et d'ou p(x)=p(x+y-y)=p(x+y)-p(y)puis ..........pour tout xety et z et le 2 cas donne les constaantes il suffit de prendre z=0

mahmoud16 a écrit:

soit soit a=x-y b=y-z c=z-x pour tt x;y;z.
alors on a soit p(x-y)+p(y-z)+p(z-x)=0ou p(x-y)=p(y-z)=p(z-x) qui est valide pour tout reels x y et z.
sans le premier cas pour y=0 z=0 on truve
P(x)+P(-x)=0 et pour z=0 on trouve P(x-y)+P(y)=-P(-x)=p(x)et et d'ou p(x)=p(x+y-y)=p(x+y)-p(y)puis ..........pour tout xety et z et le 2 cas donne les constaantes il suffit de prendre z=0

tu peux pas séparer le cas 1 et le cas 2 !

voila un exemple plus concret :

quelque soit x appartient à R :
1) x>=0
ou 2) x<=0

On traite le premier cas :
quelque soit x de R : x>=0

selfrespect a écrit:

sachant que x^3+y^3+z^3-xyz=(x+y+z)[(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]
on deduit alors que :
1)P(a)+P(b)+P(c)=0
ou 2) P(a)=P(b)=P(c)
---
♣ a=b=c=0 ==> P(0)=0
♣tout dabord soit x de R x-x+0=0
alors P(x)+P(-x)=0 ==> P est impaire
1) ==> P(a)+P(b)=-P(-a-b)=P(a+b)
alors P est de forme Ax (P continue)
reciproquement x-->Ax verifie lenoncé.
dou P(x)=Ax
2) soit x de Rx-x+0=0
alors P(x)=P(-x)=P(0)[size=24]=0[/size]
conclusion les seules fcts verifiants P sont x-->Ax (se)

JE CROIS QUE JAI PERDU LES AUTRES FCTS (CONSTANTES ) dans ce passage ( jai utiluse (1) inconsciement )...

je vous propose une démarche classique pour résoudre ce type d'exercices : les racines

on traite 2 cas :
- si P est constant -> P est une solution
- si P n'est pas constant, alors P admet une racine dans C ( théorème de d'Alembert ), on note a cette racine.
en prenant (a,a,-2a)
on a : a+a-2a = 0
d ou (P(a))^3+(P(a))^3+(P(-2a))^3 = 3P(a)P(a)P(-2a)
P(-2a) = 0
donc si a racine ->-2a racine ->4a racine ->4^na racine
Comme un polynome ne peut pas admettre une infinité de racines alors il existe i et j avec i#j tel que 4^ia=4^ja
d ou a=0
donc la seule racine de P est 0
d ou P(x) = (x-0)^r=Ax^r
En remplaçant dans l'équation, on trouve que r =1 d'ou P(x) = Ax

NB : c'est le type d'exercice qu'on pose dans les oraux des grandes écoles !

Bravo bel_jad5 !!!!
Tu as toujours la solution élégante .
Oeil_de Lynx

bel_jad5 a écrit:

je vous propose une démarche classique pour résoudre ce type d'exercices : les racines

on traite 2 cas :
- si P est constant -> P est une solution
- si P n'est pas constant, alors P admet une racine dans C ( théorème de d'Alembert ), on note a cette racine.
en prenant (a,a,-2a)
on a : a+a-2a = 0
d ou (P(a))^3+(P(a))^3+(P(-2a))^3 = 3P(a)P(a)P(-2a)
P(-2a) = 0
donc si a racine ->-2a racine ->4a racine ->4^na racine
Comme un polynome ne peut pas admettre une infinité de racines alors il existe i et j avec i#j tel que 4^ia=4^ja
d ou a=0
donc la seule racine de P est 0
d ou P(x) = (x-0)^r=Ax^r
En remplaçant dans l'équation, on trouve que r =1 d'ou P(x) = Ax

NB : c'est le type d'exercice qu'on pose dans les oraux des grandes écoles !

wooooooow

neutrino a écrit:

bel_jad5 a écrit:

je vous propose une démarche classique pour résoudre ce type d'exercices : les racines

on traite 2 cas :
- si P est constant -> P est une solution
- si P n'est pas constant, alors P admet une racine dans C ( théorème de d'Alembert ), on note a cette racine.
en prenant (a,a,-2a)
on a : a+a-2a = 0
d ou (P(a))^3+(P(a))^3+(P(-2a))^3 = 3P(a)P(a)P(-2a)
P(-2a) = 0
donc si a racine ->-2a racine ->4a racine ->4^na racine
Comme un polynome ne peut pas admettre une infinité de racines alors il existe i et j avec i#j tel que 4^ia=4^ja
d ou a=0
donc la seule racine de P est 0
d ou P(x) = (x-0)^r=Ax^r
En remplaçant dans l'équation, on trouve que r =1 d'ou P(x) = Ax

NB : c'est le type d'exercice qu'on pose dans les oraux des grandes écoles !

wooooooow

En fait, cet exercice,c'est moi qui l'a crée, je voulais le proposer aux OMMI...Mais comme j'ai vu qu'il nétait pas difficile, je l'ai posté ici, pour préparer les membres à l exo P(x²)=p(x)p(x-1)...

bel_jad5 a écrit:

neutrino a écrit:

bel_jad5 a écrit:

je vous propose une démarche classique pour résoudre ce type d'exercices : les racines

on traite 2 cas :
- si P est constant -> P est une solution
- si P n'est pas constant, alors P admet une racine dans C ( théorème de d'Alembert ), on note a cette racine.
en prenant (a,a,-2a)
on a : a+a-2a = 0
d ou (P(a))^3+(P(a))^3+(P(-2a))^3 = 3P(a)P(a)P(-2a)
P(-2a) = 0
donc si a racine ->-2a racine ->4a racine ->4^na racine
Comme un polynome ne peut pas admettre une infinité de racines alors il existe i et j avec i#j tel que 4^ia=4^ja
d ou a=0
donc la seule racine de P est 0
d ou P(x) = (x-0)^r=Ax^r
En remplaçant dans l'équation, on trouve que r =1 d'ou P(x) = Ax

NB : c'est le type d'exercice qu'on pose dans les oraux des grandes écoles !

wooooooow

En fait, cet exercice,c'est moi qui l'a crée, je voulais le proposer aux OMMI...Mais comme j'ai vu qu'il nétait pas difficile, je l'ai posté ici, pour préparer les membres à l exo P(x²)=p(x)p(x-1)...

merci

pouvez vous bel_jad5 poster des exo pour applique cette metode

abdou20/20 a écrit:

pouvez vous bel_jad5 poster des exo pour applique cette metode

en effet ca sera tres interessant.