problème N°95 de la semaine (20/08/2007-26/08/2007)

cette formule à été proposé par selfrespect (je la trouve très jolie )
voir Terminale 2008
Alors j'ai décidé de la proposer comme problème de la semaine

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Salut
SOlution postée
voici la solution de selfrespect

Salut Mr Samir ,
on sait bien que (ab#1) Arctg(a)+Arctg(b)=Arctg({a+b}/(1-ab}) +k.pi
♣ k=1 si a et b >0 et ab>1.
♣ k=0 si ab<1.
♣ k=-1 si a et b <0 et ab>1.
alors : on a Arctg(1)+Arctg(3)=Arctg(-2)+pi
alors Arctg(1)+Arctg(2)+Arctg(3)=pi

solution postée
voici la solution de Mahdi
On a :

alors :

or

En prenant x=2 et x=3

On obtient :

Sachant que Arctan1=pi/4

Salut tout le monde.
Solution postée.
Voici la solution de boukharfane radouane
Salut Mr SAMIR.
Montrons tout d’abord ce petit lemme.
Pour tout (a, b) £ IR+² avec ab>1 on a arcatn (a)+artan (b)=pi+arctan ((a+b)/ (1-ab)).
Posons x=arctan (a), y=arctan (b) et z= arctan ((a+b)/ (1-ab)) tels que 0 On a : tan(x+y)=(tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)*tan(b))=tan(z) => x+y=k*pi+z.
Puisque 0<3PI 2 0<3 2 donc 0<3pi alors> k=1 (k appartient à Z)
D’où le résultat voulu.
*application du lemme.
On a S= (arctan (1) +arctan (2)) +arctan (3)= (pi+arctan (-3)) +arctan (3)=pi (puisque la fonction x->arctan(x) est impaire).
Une autre solution :
On peut aussi voir : tan(S)= 0 => S=k*pi mais 0<3PI 2=""> S=pi.
(tan(a+b+c)=(tan(a)+tan(b)+tan(c)-tan(a)*tan(b)*tan(c))/(1-tan(a)*tan(b)-tan(b)*tan(c)-tan(c)*tan(a))

solution postee
Voici la solution de bouanou25

Bonjour,

Solution postée.

voici la solution d’infophile

salam
solution postée
Voici la solution de taredot
supposon que s appartient au domaine de definition de tan
on applique la formule suivante a S
tan(a+b)=(tana+tanb)/1-tana*tanb
on aura tanS=0/0 absurde d'ou S n'appartient pas au domaine de definition de tan dc S=pi/+kpi avec kappartient a Z ajoutons que 0<S<pi d'ouS=pi/2

salut
solution postee
voici la solution de de aziz nouhaila


on peut montrer que : arctan( 1+x / 1-x) = pi /4 + arctan x pour tout x different de 1
( par ex en prenant la tangente des deux memebres )
pour x=2 : arctan (1+2/1-2)=pi/4+ arctan2
donc : arctan (-3) = pi/4 +arctan2
donc : -arctan3 = arctan 1 + arctan2
d'ou : arctan1 + arctan 2 + arctan 3 =0

solution postee

voici la solution de saad007
on a tg(arctg(2)+ arctg(3))=-5/5=-1
et vu que pi/2<arctg(2)+ arctg(3)<pi et -pi/2<-arctg1<0 (**)
on ne peut pas dire que
arctg(2) +arctg(3)=-arctg1 (un petit piege tendu par selfrespect)

mais en fait arctg(2)+ arctg(3)=-arctg1[pi] (modulo pi)

es selon (**) il est clair que arctg(2)+arctg(3)=pi-arctg(1)

ce qui fait que arctg1+arctg(2)+arctg(3)=pi et non pas 0

salut tt le monde
solution postée
Voici la solution de omis
Salut Mr Samir, voila ma solution pour le problème de cette semaine N°95.
Et j’espère que j’ai pas commis une faute 

Posons arctg(1)= a et arctg(2) =b et arctg(3)= c
Alors
En va calculer tg(a+b) et tg(a+c et tg(b+c)

*) tg(a+b) = [tg(a) +g(b)]/[1-tg(a)tg(b)] = 3/-1 = -3
**) tg(a+c) = [tg(a) +g(c)]/[1-tg(a)tg(c)] = 4/-2 =-2
***) tg(b+c) = [tg(b) +g(c)]/[1-tg(b)tg(c)] = 5/-5 = -1
On a du *) a+b = -arctg(3) avec a,b £ ]-pi/2 ,pi/2[ et arctg est impair
Et du **) on a a+c = -arctg(2) avec a,c £ ]-pi/2,pi/2[ et arctg est impair
Et du ***) on a b+c=-arctg(1) avec b,c £ ]-pi/2,pi/2[ et arctg est impair
*)+**)+***) => 3arctg(1)+3arctg(2) +3arctg(3) =0
=> arctg(1) +arctg(2) +arctg(3) =0



Omis

slt
solution postée;)

voici la solution de calloCalculons : S=arctan (1) +arctan(2)+arctan(3)
On pose: a=arctan (1)
b=arctan (2)
c=arctan (3)
tan(a+b+c)=[tan(a)+tan(b)+tan(c)-tan(a)tan(b)tan(c)]/[1-tan(a)tan(b)-tan(a)tan(c)-tanb)tan(c)]

tan (a+b+c) = (1+2+3-6)/(1-2-3-6)=0

S=a+b+c=arctan(0) = a+b+c=0 ou a+b+c=pi ou a+b+c=2pi

tan(a)>=1
tan(b)>rac(3) ========== a+b+c>11pi/12
tan(c)>rac(3)

D’ou S=2pi

A +

bonjour
solution postée
Voici la solution de Stipuler
Bonjour !
Calculons S = arctan1+arctan2+arctan3 !

Apres des calculs on a tan(S) = 0 . d’où S=0 ou S= pi.

On 1<2< racine (3) => pi/4 < arctan2< pi/3
Et arctan1 = pi/4
Alors pi/4 +pi/4 + arctan3 < S < pi/4 +pi/3 + arctan3
On a arctan3 = pi/2 – artacn 1/3
D’ou pi/2 + pi/2 –arctan1/3 < S < 7pi/12 + pi/2 – arctan 1/3
 pi – arctan1/3 < S < 13pi/12 – arctan 1/3

On a: arctan 1/3 < arctan 1/racine3 => arctan1/3 < pi/6
 pi- arctan 1/3 > pi – pi/6

on a alors : 5pi/6 < S < 13pi/12 (puisque arctan1/3 > 0 ) et tanS = 0

finalement S = pi !

Merci d’avoir lu mon essai !

Stipuler

salam

solution postée
(solution non trouvé parmis mes mails) (administration )

Salut tt le monde
Solution Postée
Voici la solution de yassin mansouri
solution de mansouri du pb n°95

salut tt le monde
solution postée
Voici la solution de ali20/20

nous savons certe que arctan(x)+arctan(1/x)=pi/2 (x appartiens a R)
alrs
arctan(1)+arctan(1/1)=pi/2
arctan(2)+arctan(1/2)=pi/2
arctan(3)+arctan(1/3)=pi/2
en plus nous savons que
arctan(1/2)+arctan(1/3)=pi/4 alors on deduire que
arctan(1)+arctan(2)+arctan(3)=pi
ali20/20

salut tout le monde
solution postée
Voici la solution de aliaz
salut a tous voila ce que je propose

posons pour simplifier l'ecriture : a=arctan(1); b= arctan(2); c=arctan(3)

on a alors tan(a+b)=-3
donc arctan(tan(a+b))+c=0

or on a pi/2<a+b<pi
donc -pi/2<a+b-pi<0
et puisque tan(x-pi)=tan(x) pour tt reel x alors
arctan(tan(a+b))=artan(tan(a+b-pi))=a+b-pi (car si -pi/2<=x<=pi/2 alors atan(tan(x))=x)

ce qui donne a+b+c-pi=0

d'ou S=pi

voila (amicha)

Salut tt le monde
réponse postée
(solution non trouvé parmis mes mails) (administration )

salut .

Solution postée
Voici la solution de Soukaina06



S= arctg (1)+arctg(2)+arctg(3)



On a qlq soit x de R+ arctg(x)+arctg(1/x)= pi/2

Donc S= arctg(1)+pi/2-arctg(1/2) +pi/2-arctg(1/3)


=arctg(1)+pi-(arctg(1/2)+arctg(1/3) )


On a acrtg (1/2)+arctg(1/3)=pi/4 ?


On a tg (acrtg (1/2)+arctg(1/3))=(1/2+1/3)/1-1/6 =1=tg (pi/4)

Donc .S= arctg (1)+pi –pi/4
=pi



S= pi

solution postée

bonne journée



voici la SOLUTION DE CONAN


on a :
S = arctan (1) + arctan (2) + arctan (3)

<=> S = arctan (1) + arctan [(2+3)/(1-2*3)] + E*pi

et puisque : 2*3 > 1 and 2;3 >= 0 => E = 1

d'ou S=arctan (1) +arctan(-1) + pi = arctan [ (1+(-1))/1+1] + E_2*pi +pi

<=> S = arctan (0) + E_2*pi + pi

et puisque : 1*(-1) < 1 => E_2 =0

et on a : arctan 0 = 0

d'ou : S = pi

Salut à tous!

Solution postée.
voici la solution de Kendor

S=Arctg (1) +Arctg (2) +Arctg (3)
Or tg(a+b)=(tg(a)+tg(b))/(1-tg(a)tg(b))

Donc tg(Arctg(1)+Arctg(2))=(1+2)/(1-2)=-3
Donc S=Arctg (-3) +Arctg (3)

Or si f est bijective impaire, alors g=f¹־ aussi est impaire.
En effet pour tout y, f (-g(y))=-f (g(y))=-y=f (g (-y))
Donc g (-y)=-g(y)
Donc Arctg (-3)=-Arctg(3).

Donc S=0.


A+
Ciao!

Kendor

slt tt le monde
solution postee
voici la solution de Wiles:
on sait que tg(pi/4)=1 et puisque pi/4 £ (-pi/2,pi/2) alors arctg(1)=arctg(tg(pi/4))=pi/4
posons x=arctg2 et y=arctg3
on a tg(x+y)=(tgx+tgy)/(1-tgx*tgy)=-1
on sait que x=<pi/2 et y=<pi/2 donc x+y=<pi
et on a 1=<2 et 1=<3
donc pi/4=<x et pi/4=<y donc pi/2=<x+y
alors pi/2=<x+y=<pi et tg(x+y)=-1
alors:
x+y=3pi/4
alors arctg1+arctg2+arct3=pi

salut tt le monde solution postée

voici la solution d abdellatif

on a arctan(1)=pi/4
il est facile a demontré que si ab>=1 on a
arctan(a)+arctan(b)=pi+artan(a+b/1-ab)
Danc pour a=2 et b=3 on a arctan(2)+arctan(3)=pi+arctan(-1)=pi- pi/4
alors on deduit que S=pi
wa ssalamo 3alaykom

salut ma solution est postée
voici la solution de FOUAD80


Arctg(1) + Arctg(2) + Arctg(3) = Arctg(tg(п/4)) + Arctg(2) + Arctg(3) (I)
On pose Arctg(2) =a et Arctg(3)=b
L’equation (I) est :
Arctg(1) + Arctg(2) + Arctg(3) = п/4 + a + b
Tg(a+b) =[ tg(a) +tg(b)] / [1-tg(a.b)]
Avec tg(a) = 2 et tg(b) = 3
Donc tg(a+b) = -1
D’où a + b = arctg(-1) = - п/4
Donc :

Arctg(1) + Arctg(2) + Arctg(3) = п/4 - п/4 = 0