problème N°43 de la semaine (21/08/2006-27/08/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki
Bonjour
Soit S=(somme de k=1 à 2007)1/k(k+1)...(k+p).
On a pour de k>=1 : 1/k(k+1)...(k+p)= 1/p( 1/k(k+1)...(k-1+p)-1/(k+1)...(k+p))
<==> pS=1/p! - 1/2008.2009...(2007+p)
<==> pS= 1/p!- 2007!/(2007+p)!

A+

Bonjour,
Solution postée.
voici la solution de pco
Bonjour,

Soit S(n,p) = sum_{k=1,n} (k-1)!/(k+p)!. On cherche S(2007,p).
S(n,p) = sum_{k=1,n} (k+p+1)(k-1)!/(k+p+1)!
= (p+1)sum_{k=1,n} (k-1)!/(k+p+1)! + sum_{k=1,n} (k)!/(k+p+1)!
= (p+1)S(n,p+1) + sum_{k=2,n+1} (k-1)!/(k+p)!
= (p+1)S(n,p+1) + S(n,p) - 1/(p+1)! + n!/(n+p+1)!
==> S(n,p+1) = 1/((p+1)(p+1)! - n!/((p+1)(n+p+1)!)

==> S(n,p) =(1/p! - n!/(n+p)!)/p

Donc la somme cherchée vaut (1/p! - 2007!/(2007+p)!)/p

--
Patrick

--
Patrick

Bonjour;
Solution postée
voici la solution d'ELHOR
Bonjour Samir ;
Si on note up la somme en question il est facile de vérifier que
u1=(1-1/2008) et que pour p>1
up-1-pup = Somme (k=1..2007) 1/(k+1)..(k+p) = Somme (k=2..2008) 1/k(k+1)..(k+p-1)
= up-1 -1/p! +1/(2008)..(2007+p)
et il est alors clair que
up=1/p( 1/p! - 1/(2007+1)..(2007+p) )
Sauf erreur bien entendu

Bonjour,
Solution postée
voici la solution de BOUCHRA:

On montre par réccurence que : S = Sum(1/(k(k+1)(k+2)...(k+p)),k=1...n) =
(1/p) (1/p! - n!/(n+p)!)

Sinon autre méthode : téléscopage ( elle est pas de moi) :

u_k = 1/(k(k+1)...(k+p)) = 1/((k+1)(k+2)...(k+p-1)) * 1/(k(k+p)) =
1/((k+1)(k+2)...(k+p-1))* (1/k-1/(k+p))* (1/p) = v_{k+1} - v_{k} ..

Bonjour

Solution postée

voici la solution de Lotfi
Bonjour
pour ne pas me fatigué en écriture je prend la somme qu'on cherchez
représenté par S.
J'ai trouvé:

S=[1/(p+1)!]+[1!/(p+2)!]+[2!/(p+3)!]+[3!/(p+4)!]......+[2006!/(p+2007)!].

S=[(p+2)(p+3)...(p+2007)+1!(p+3)...(p+2007)+2!(p+4)...(2007)+.......+2006!]/(p+2007)!.

Merci

Lotfi

BOJOUR SOLUTION POSTEE
voici la solution de selfrespect