problème N°14 de la semaine (30/01/2006-05/02/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Salam les matheux!

Je n'ai à mentionner que ce forum est un des meilleurs que j'ai jamais eu la chance de visiter..
Et c'est: solution postée
C'est ma toute première participation, souhaitez-moi donc bonne chance ..
voici la réponse de Goood
Salam Mr Samir,

Tout d'abord, j'aimerais te féliciter pour un forum aussi bien fait que le tien. Sans plus tarder, voici ma réponse:

L'équation était: (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=2
<=> (x+1)(y+1)(z+1)/xyz=2
On note qu'aucun des inconnus ne peut être égal à 1.
Et donc x n'est pas un déviseur de (x+1)..
L'équation nous donne donc:
kx=y+1 et k'y=z+1 et k''z=x+1 tel que kk'k''=2
Comme on est dans IN, On a donc un seul cas qui se répète:
k=1, k'=1, k''=2
ça nous donne le système suivant:
x=y+1 et y=z+1 et 2z=x+1 qui accèpte comme solution: x=5, y=4, z=3.
D'après mes modestes connaissances en arithmétiques les solutions sont:
(3,4,5),(3,5,4),(4,3,5),(4,5,3),(5,3,4),(5,4,3)

Encore chapeau pour le forum, et bonne continuation!

Solution pmée
voici la solution de tutu
x <= y <= z
Si x >= 4 alors
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/x) <= (1+1/4)^3 < 2 (*)

x = 1 convient clairement pas.
x = 2 de la même façon que (*), 2 <= y <= 7
x = 3, 3 <= y <= 4

solutions :


2, 4, 15
2, 5, 9
2, 6, 7
3, 3, 8
3, 4, 5

Bonsoir
Solution postée
AA+

voici la solution de abdelbaki attioui
Soient x,y et z dans IN* avec x=<y=<z solution.

Si x=1 ==> 1=(1+1/y)(1+1/z)>1 absurde. Alors x>1.
Si x>4 ==> 2=(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=<(1+1/x)^3<125/64 <2 absurde.
Alors x=<3.
Donc x=2 ou x=3

Si x=2 ==> (1+1/y)(1+1/z)=4/3 =< (1+1/y)²

si y>6 ==> 4/3=<(1+1/y)²=<49/36<4/3 absurde . Alors y=<6
x=y=2 ==> 3/2*3/2=9/4 ==> 1+1/z=8/9<1 absurde.
x=2 et y=3 ==> 3/2*4/3=2 ==> 1+1/z= 1 absurde.
x=2 et y=4 ==> 3/2*5/4=15/8 ==> 1+1/z=16/15 ==> z=15
x=2 et y=5 ==> 3/2*6/5=9/5 ==> 1+1/z=10/9 ==> z=9.
x=2 et y=6 ==> 3/2*7/6=7/4 ==> 1+1/z=8/7 ==> z=7.

si x=3 ==> (1+1/y)(1+1/z)=3/2
si y>4 ==> 3/2=(1+1/y)(1+1/z)< 5/4(1+1/z)==> z=<4<y absurde. Alors 3=<y=<4
si x=3 et y=3 ==> 4/3*4/3=16/9 ==> 1+1/z=9/8 ==> z=8.
si x=3 et y=4 ==> 4/3*5/4=5/3 ==> 1+1/z=6/5 ==> z= 5.

Donc les solutions sont:
(2,4,15);(2,5,9);(2,6,7); (3,3, 8] ;(3,4,5)
et tous leurs permutations

Salam;
solution postée

voici la solution de Erdos
les solutions sont :
(2;4;15)
(2;5;9)
(2;6;7)
(3;3;8]
(3;4;5);

Preuve:
On suppose 1<x<y<z;
On a 2 = (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)<(1+1/3*x+1/3*y+1/3*z)^3;
Donc: 0.75 < 1+1/3*x+1/3*y+1/3*z
=> x = 2,3 ou 4
=> 1/y + 1/z > 0.25
=> y < 8
puis, par enumération (de tous les couples (x,y) avec 1<x<5 et x<= y< 8 on trouve toute les solutions.

tu dois posté ta solution par e-mail
voir condition de participation
(réponse supprimé par l'administrateur)

Bonjour,

Solution postée,
voici la solution de lolo
2 = (1+1/x)(1+ 1/y)(1+ 1/z) =< [ (3+1/x + 1/y + 1/z)/3)]^3
d'après l'inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique.
D'où 3 (2 ^ {1/3} - 1) =< 1/x + 1/y + 1/z

Par symétrie il suffit de regarder x=< y =< z d'où x < 4
je noterais (x,y,z) une solution ordonnée.
On traite le cas x=3 de la même manière en majorant y =<5 . Solutions (3,3,8] et (3,4,5)
Cas x = 2 on trouve y <7 d'où (2,4, 15) et (2,5,9) et (2,6,7)
notons la solution limite (2,3, infini) .

lolo

salut.
la solution de ce problème me parait que c'est vide.

boukharfane radouane a écrit:

salut.
la solution de ce problème me parait que c'est vide.

non l'equation admet plus qu'une solution

bonsoir
solution postée
voici la solution de mt2sr
l'équation est équivalente à Z[Y(X-1)-(X+1)]=(X+1)(Y+1)
on suppose que x<=y<=z (à cause de la symétrie du problème)

pour x=1 z sera négatif

pour x=2 Z[Y-3]=3(Y+1)

pour y=2 z sera négatif
pour y=3 y sera négatif
pour y=4 z=15
pour y=5 z=9
pour y=6 z=7
pour y>=7 z-7=-4(y-6)/(y-3) donc z<7<=y (contradiction avec l'hypothèse)

pour x=3 Z[Y-2]=2(Y+1)

pour y=3 z=8
pour y=4 z=5
pour y>=5 z-5=-3(y-4)/(y-2) donc z<5<=y (contradictio avec l'hypothèse)

pour x>=4 z-4=(y(-3x+5)+5(x+1))/((x-1)y-(x+1)) on motera que z<4<=x (contradiction avec l'hypothèse)

les solutions sont: (2,4,15),(2,5,9),(2,6,7),(3,3,8],(3,4,5) et les combinaisons

Perso je ne sais pas où tu vas les trouver tes problèmes de la semaine Samir!
En tout cas bravo à ceux qui auront trouvé!


Biz

bonjour à tous les membres
la participation au problème N°7 est términée (si d'autres membres ont une autre solution ils peuvent la poster ici)
les bonnes réponses sont de
tutu
abdelbaki.attioui
lolo
Erdos
mts2r
bravo . et merci a Good pour sa participation meme s'il n'as reussi à trouver qu'une seule solution
bonne chance pour le problème N°15
A+